《2.2切线长定理》教学设计 2023--2024学年浙教版九年级数学下册

《2.2切线长定理》教学设计 教学内容分析 本课时是在学习完切线的判定和性质以后，进一步研究切线的相关知识点，其中切线长定理又为学习三角形的内切圆提供理论支撑，体现了由浅入深、循序渐进的学习原则．由切线长定理可以推出线段，角，弧相等以及垂直关系等，在学习切线长定理时要注意切线和切线长的区分。 学习者分析 学生学习了圆的基本性质、垂径定理、点和圆、直线和圆的位置关系，以及有关的三角形、四边形的有关证明，对本节课的学习应该不是很困难，处于这一阶段的学生，其思维已经具备了明显的逻辑性，但还不是不够完整，如何分析、如何入手等还有待进一步提高。在本堂课上通过具体的问题的指引，学生自己思考，动手操作等，引发学生的兴趣，能够引导他们一步步达成教学目标。 教学目标 1.理解切线长的定义，会推导切线长定理. 2.掌握切线长定理，并会利用它进行相关的计算和证明 教学重点 切线长定理及其应用 教学难点 与切线长定理有关的计算和证明问题 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：引入新课 教师活动1： 你见过抖空竹表演吗？如示意图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，AC与BD的延长线交于点P. PC与PD有什么大小关系？. 学生活动1： 学生观察回答问题 活动意图说明：通过问题情境，激发学生学习兴趣，营造探索问题的氛围。同时让学生体会到数学知识无处不在，应用数学无处不有。 环节二：新知探究 教师活动2： 思考：P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O 于A、B两点，比较PA、PB两条线段的长短,你能发现什么? 从圆外一点作圆的切线，我们把圆外这点到切点间的线段的长叫做切线长。 注意：切线是直线，不可以度量；切线长是切线上的切点与切点外另一点之间的线段长，可以度量. 归纳总结： 切线长定理 过圆外一点所作的圆的两条切线长相等. 几何语言： ∵PA，PB分别切⊙O于A，B， ∴PA=PB. 你能证明这个定理吗？ 已知：如图，P为⊙O外一点PA,PB分别与⊙O相切于点A,B.求证：PA=PB. 证明：连结AO,BO,PO. ∵PA,PB分别与⊙O相切于点A,B ∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90° ∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB 1.∠PAO与∠PBO有什么关系？ ∠PAO=∠PBO 2.若连结两切点A，B，AB交OP于点M.你能得出什么新的结论? OP垂直平分AB 3.若延长PO交⊙O于点C，连结CA，CB.你又能得出什么新的结论? CA=CB 学生活动2： 小组交流合作，教师适时指导，探索切线长定理 活动意图说明：引导学生发现问题，总结经验，不仅是知识的积累，更是数学方法的小结，是高层次自我认识 环节三：典例精析 教师活动3： 例1 如图，点O是所在圆的圆心，AC，BC分别与⊙O相切于点A，B. 已知∠ACB=80°，OC=102m. 求C到⊙O的切线长(结果精确到1m). 解：如图，连结OA，OB. ∵AC ， BC分别与⊙O相切于点A、B， ∴AC=BC(过圆外一点所作的圆的两条 切线长相等). 又∵OA=OB，OC=OC， ∴△OAC≌△OBC ∴∠ACO=∠BCO=∠ACB=×80°=40°. 在Rt△OAC中，∠OAC=90°， ∴=cos40°， ∴AC=OC×cos40° =102×cos40°≈78(m). 答：点C到⊙O的切线长约为78m. 例2 如图，⊙O表示皮带传动装置的一个轮子，传动皮带MA，NB分别切⊙O于点A，B. 延长MA，NB，相交于点P.已知∠APB=60°，AP=24cm，求两切点间的距离和的长(结果精确到1cm). 解：如图，连结AB，OA，OB，OP . ∵MP，NP分别切⊙O于点A ，B， ∴OA⊥AP，OB⊥BP ， AP=BP. 又∵∠APB=60°， ∴△ABP为等边三角形，∴AB=AP=24cm. ∵OA=OB，∴OP平分∠APB， ∴∠OPA=30°， ∴OA=AP×tan30°=24×=8(cm). 而∠AOB=360°-2×90°-60°=120° ， ∴= =≈29(cm). 答：两个切点间的距离为24cm， 的长约为29cm. 学生活动3： 学生自主解答，教师进行个别指导，最后让学生说明做题理由，教师做好总结. 活动意图说明：学以致用，从做题中加强对知识的理解和运用能力. 板书设计 1.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 2.切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须