6.2.4 向量的数量积　课件——2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.4 向量的数量积 目 录 01.学习目标 02.学习重难点 03.新知积累 04.课堂巩固 理解平面向量的数量积的概念并且掌握平面向量的数量积 通过几何直观，了解平面向量投影的概念和投影向量的意义 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 学习目标 教学重点：平面向量的数量积以及投影概念应用 教学难点：对于平面的数量积的概念的理解以及平面向量数量积的应用 学习重难点 新知积累 课堂巩固 我们今天学到了什么？ 谢谢观看 特别注解：当 时， 与 同向；当 时， 与 反向. 已知两个非零向量 ， 是平面上的任意一点，作 则 叫做向量 与 的夹角.如图： 已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，我们把数量 叫做向量 与 的数量积（内积），记作 ，即 规定： 零向量与任一向量的数量积为 向量垂直： 如果 与 的夹角是 ，我们就说 与 垂直，记作 . 数量积（内积）： （3）在运用数量积解题的时候我们要注意夹角的范围是 特别注解： （1）两向量的数量积的结果是数量，不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，它的符号由夹角的余弦值决定. （2）两个向量的数量积的乘法和我们以前学习过数的乘法是不一样，要注意区分. （4）向量的数量积的结果是一个数量，符号由 的符号决定，向量的加法和实数与向量的积的结果仍是向量. （5） 的变形公式为 投影向量： 设 是两个非零向量， ，我们考虑如下的变换：过 的起点 和终点 ，分别作 所在直线的垂线，垂足分别为 ,得到 ，我们称上述变换为向量 向向量 投影， 叫做向量 在向量 上的投影向量.如图： 向量数量积的性质： 设 是非零向量，它们的夹角为 ， 是与 方向相同的单位向量，则 （1） （2） （3）当 与 同向时， ，当 与 反向时， .特别地， 或 此外，由 还可以得到 （4） （3）分配率： 向量的数量积运算的运算律 （1）交换律： （2）数乘结合律： 1.已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则 的值为( ) A. B. C. D. C 解析：由题意得， EMBED Equation.DSMT4 . C 解析：设向量 与 的夹角为 ,则 ,解得 , 因为 , .故选：C. 2.若平面向量 与 满足 ,且 , ,则向量 与 的夹角为( ) A. B. C. D. 3.（多选）已知a，b，c是三个向量，则下列结论中错误的是( ). A. B. C. D.若 ，则 CD 解析：因为向量的数量积公式满足交换律和分配律，所以A，B正确； 表示与向量c共线的向量，表示与向量a共线的向量，两个向量不一定相等，故C不正确； 4.已知 与b的夹角 为30°，则a在b上的投影的数量为____________. 解析：a在b上的投影的数量为 5.已知 与 的夹角为 . (1)若 ,求 ; (2)若 与 垂直,求 . 解析：(1) 与 的夹角 或 . 当 时， ; 当 时， . 综上所述， ; (2) ，即 . ， . 向量 的夹角 的范围是 . 数量积的运算律 平面向量数量积的概念 投影向量 数量积的性质 $$