6.3.1 平面向量基本定理　课件——2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.3.1 平面向量的基本定理 目录 CONTENTS 01 学习目标 02 问题探究 03 例题解析 04 课堂巩固 1.理解平面向量基本定理及其意义 2.学会利用平面向量的基本定理解决有关的向量的问题. 学习目标 重点 平面向量基本定理及其应用 点击此处添加标题 难点 平面向量的基本定理的理解 学习重难点 问题探究 我们一起探索一下 O N M 探究一下 C 我们的发现 结论 结论 新知积累 我们证明一下基底是唯一的 方法 反证法 证明 新知积累 注意 例题解析 例题来了 发现的结论 方法总结 用基底表示向量的两种基本方法： 将两个不共线的向量作为基底表示其他的向量，基底表示的方法有两种：一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直到可以用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或者方程组，利用基底表示向量的唯一性求解. 拓展一下 向量的数量积是否为零是判断相应的两条线段是否垂直的充要条件之一 方法总结:用向量解决几何问题时，可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量用基底表示，将几何问题转化为向量问题，从而得以解决. 方法总结 向量法解几何问题的一般思路: 用向量法解决几何问题时可以选择适合的基底，将问题中涉及的向量用基底表示，把几何问题转化为向量问题，通过向量运算，再将向量问题转化为几何问题. 课堂巩固 课堂巩固 课堂巩固 课堂巩固 课堂巩固 课堂巩固 课堂巩固 课堂巩固 课堂巩固 课堂巩固 这节课学习了什么 回顾一下 回顾一下平面向量基本定理的内容 回顾一下 谢谢观看 我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力.如图，我们知道根据解决实际问题的需要，通过作平行四边形，将力 分解成多组大小、方向不同的分力. 提出一个问题 由力的分解得到启发，我们能否通过作平行四边形，将向量 分解为两个向量，使向量 分解为两个向量的和呢？ ? 如图，设 是两个平面上内两个不共线的向量， 是这一平面内与 都不共线的向量，在平面内任取一点 ，作 将 按 的方向分解，会发现什么？ 探究问题1:向量 与 有一个共线，向量 可以表示成上述式子吗? 如上图， ，因为 与 共线， 与 共线， 并且存在实数 ，使得 所以 . 当 与 共线时， 当 与 共线时， 向量 与 有一个共线，向量 也可以表示成上述式子. 当 时， 当 是零向量时可以表示成上述的式子 探究问题2：当 是零向量时可以表示成上述的式子吗？ 平面向量的基本定理： 如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ，使 若 不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 平面的任一向量都可以由同一个基底唯一表示. 假设向量 也可以表示成 ， 那么 ， 可得 ， 可得 ， 假设 则 ， 由此可得 共线，这与 不共线矛盾， 所以假设不成立，即 . 也就是说有且只有一对实数 使得 . 特别注解: （1）由平面向量的基本定理可知，若 不共线，则由 的所有线性组合构成的集合 就是平面内的全体向量，其中 叫做这平面内的所有向量的一组基底.这个定理体现了化归转化的数学思维. （2）平面向量的基本定理是向量的共线定理在平面内的推广. 基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基底，同一非零向量在不同的基底下的分解不同. 基底给定时，分解形式唯一， 是被 唯一确定的数值. 是同一平面内所有向量的一组基底，则当 与 共线时， ；当 与 共线时， ；当 时， . 由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量. 例1：如图， 不共线，且 ，用 ， 表示 . 观察 ，你有什么发现？ 与 的系数和为1，一般地， 三点共线的充要条件是：存在唯一实数 ，满足 ，且 . 如图，在 中， ，点E是CD的中点.设 ， ，用a，b表示 ， . 解法1： ， . 解法2：设 则 有 ,所以， ，解得 ， 即 . 例2：如图， 是 的中线， ，用向量方法证明 是直角三角形. 例3：设D，E分别是 的边AB，BC上的点， ， .若 （ ， 为实数），则 的值是( ) A. B. C. D. 解析：由题意，如图， ， ， . 又 （ ， 为实数）， ， ， . A 1.利用平面向量的基本定理求参数值的基本思路是利用定理的唯一性，对某一向量用基底表示两次然后利用系数相等列方程组求解，即对于基底 ，若 且 ，则有 . 2.充分利用平面几何知识对图中的有关进行精确定位，往往可使问题更便于解决. 例4：证明：三角形的三条中线交于一点. 解析：如图，D，E，F分别是 三边上的中点， 设 ， .设 ， 则 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equ