6.3.5平面向量数量积的坐标表示　课件——2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 我们可以利用向量的数量积的坐标形式判断夹角的范围，三角形的形状 两点之间距离的坐标求法 例题来了 求向量的模或者两向量的夹角都有两种基本思路：一种是非坐标公式，另一种是坐标公式，两种方法都能独立完成，但是，当向量的坐标已知时，坐标公式比较简洁. 例题来了 例题来了 例题来了 例题来了 B D A C BC 8 -7 复习一下刚才学习的内容 1.向量的数量积 2.向量的模和垂直的定义 3.向量夹角公式 谢谢观看 会用坐标表示平面向量垂直的充要条件 会用坐标表示平面向量的数量积 会用坐标表示两个平面向量的夹角 对平面向量数量积的坐标表示的应用 学习重难点： 学习重点： 向量的数量积、模、夹角的坐标表示及两向量垂直的充要条件 学习难点： 又因为 ， 所以 . 新课导入 已知 ，怎样用 与 的坐标表示 呢？ 因为 ， 所以 公式 与 都用来求 两个向量数量积，没有本质区别 新知积累 向量的数量积的坐标表示： 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和.即 特别注解： 当 时， 当 时， 当 时， . （2）设 ，则 平面向量模和垂直的坐标表示： （1）若 则 或 . 如果表示向量 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 ， 那么， 此式为向量 的单位向量的坐标表示. 求解向量 的单位向量： 因为向量 的单位向量 ， 若 ，则 ， 所以 若点 ，点 ，则 ， 所以， 即 的实质是 两点之间的距离或者线段 的长度，这也是向量模的几何意义. 求两向量的夹角的时候要注意夹角的范围，夹角的范围为 . 向量的夹角： 设 是非零向量， ， 是 与 夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得 例1：已知向量 ，求 . 解法一： 解法二： 方法总结：进行向量的数量积运算， 提前要牢记有关运算法则和运算性质. 解题时通常有两条途径：一是先将各 向量用坐标表示，直接进行数量积运算； 二是先利用数量积的运算律原式展开， 再依据已知条件展开. 例2：已知 ，且 ，则 . 解析：因为 ，且 ， 所以 ，解得 ， 所以 ，则 . 答案： . 解析： ， ， .又 ， ， .设 与 的夹角为 ，则 .又 ， . 例3：若两个非零向量a，b满足 ，则向量 与 的夹角是( ) A. B. C. D. D 例4：已知向量 ，若 ，则实数 的值是____. 方法总结：若 ，则 ，这是解决向量垂直问题的重要工具. 解法一： 解法二： 例5：如图所示，在 中， 为直角， ，D是CB的中点，E是AB上的点，且 ，求证： . 解法一：证明：由D是CB的中点，则 ， E是AB上的点，且 ，则 ， 即 ，即有 ， 由在 中， 为直角， ，则 ， 则 ， 则 即 解法二：建立平面直角坐标系，设 则 ，设 为 的中点， 利用向量可以解决与长度、角度、垂直、平行等有关的几何问题， 解题的关键在于把其他语音转化为向量语言，用向量表示问题中 涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.常用问题是 建立平面直角坐标系，借助向量的坐标运算将几何问题转化为 代数问题来解决. 课堂巩固 1.已知向量 ， 满足 ， ，则 ( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 解析:向量 ， 满足 ， ， 所以 . 故选：B. 2.已知向量 ， ，则 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析：由题意知 ， 所以 ，故选D. 3.已知向量 ， ， ，若 ，则 ( ) A.-1 B.-2 C.1 D.2 解析：因为向量 ， ，所以 ， 由 可得 ，解得 . 4.已知向量 ， ，若 ，则 ( ) A.18 B.24 C.26 D.28 解析:因为 ，所以 ，解得 ， 所以 . 故选:C 5.（多选）设向量 ， ，则( ) A. B. C. 与 的夹角为 D. 解析: ， ，所以 ，故A选项错误，B选项正确； ， ，则 与 的夹角为 ，故C选项正确； ， ， ，故D选项错误.故选:BC. 6.已知向量 满足 .若 ，则 ______，向量 的夹角为_____________. 解析：由题意知， . ， ，即 ，解得 ， 所以 . 设向量 的夹角为 ， 则 ，故 ，即向量 的夹角为 . 7.已知向量 ， 且 ，则 ____________. 解析：由题设 ，且 ， 所以 ，则 . 故答案为：-7. 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和. 即 . 平面向量模的坐标表示:若 则 或 . 如果表示向量 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 ， 那么， EMBED Equation.DSMT4 设 是非零向量， ， 是 与 夹角，根据向量数量积的定义 及坐标表示可得 平面向量垂直的坐标表示：设 ， 则 . $$