培优专题　抛物线焦点弦的性质与应用课件——2024届高三数学一轮复习

培优专题：抛物线焦点弦的性质与应用 如图：设抛物线=2px (p>0) 的焦点为F，准线为，直线过F且与C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点， 直线 的倾斜角为。 性质1.焦点在x正半轴=2px (p>0) ： 焦点在y正半轴=2py (p>0)）： 性质2.抛物线焦半径的长度与倾斜角的关系： 焦点在x正半轴 E A1 A’ A B F 焦点在y轴正半轴 (左图以l倾斜角是锐角为例) 向量 在 投影 (3) 抛物线焦点弦的长度：|AB|＝x1＋x2＋p= =2px (p>0)）(θ为直线AB的倾斜角) |AB|＝y1＋y2＋p= =2py (p>0)） (以焦点在x轴正半轴为例推证) 结论延伸：过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p(通径) 且通径是过焦点的最短弦。 (4) (5)以AB为直径的圆与准线切于CD中点N； 以AF、BF为直径的圆与y轴相切 以CD为直径的圆与直线AB切于焦点F． ∠CFD=90° N （6）三角形OAB的面积： (7)过抛物线=2px (p>0)焦点弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2)的切线方程 过A点的切线方程是：y1y=p(x+x1) 过B点的切线方程是：y2y=p(x+x2) 证明:当y>0时，由=2px (p>0)得y=，则y′= 点A(x1,y1)处切线斜率k===， 当y<0时，同理可得点B(x2,y2)处切线斜率k==， 则过A(x1,y1)切线方程为y-y1=(x-x1) ，又=2px1， 整理可得,过A点的切线方程是：y1y=p(x+x1) 同理可得,过B点的切线方程是：y2y=p(x+x2) (8)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上 以=2px (p>0)为例说明 证明:①当弦ABX轴时，则点P(- )在准线上． ②当弦AB过焦点F与x轴不垂直时，设A(x1,y1),B(x2,y2) 则过A点的切线方程是：y1y=p(x+x1) ① 过B点的切线方程是：y2y=p(x+x2) ② 由①－②可得：(y1-y2)y=p(x1-x2)即： (y1-y2)y=p ∴y=代入①式可得：y1y2=2px ∵弦AB过焦点F，由焦点弦性质可知y1y2=-，∴x=- ，即交点P坐标为(- ,)． 证明：，，∴= -1 ∴PA⊥PB． 结论延伸：切线交点P与弦中点Q 连线平行于对称轴 结论发散：当弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴． 以=2px （p＞0）为例说明 特例：过准线与x轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB的弦必过焦点． 证明：设P(- )、A(x1,y1),B(x2,y2)，则切线PA的方程为y1y=p(x+x1) ，切线PB的方程为y2y=p(x+x2)．均过点P， 则x1= ，x2= ，故弦AB过焦点． 证明：设准线上任一点P(- y0)，切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2)， 则切线方程分别为：y1y=p(x+x1) ，y2y=p(x+x2) 两切线均过点P，则满足y1y0=p(- +x1) ，y2y0=p(- +x2)． 故过两切点的弦AB方程为：y0y=p(x- )， 则弦AB过焦点． 结论延伸：过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径． （9）过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点 （10）AB是过抛物线=2px （p＞0）焦点F的弦，Q是AB的中点，l是抛物线的准线，l，，过点A，B的切线相交于P点，PQ与抛物线交于点M．则有 结论1：PA⊥PB． 结论2：PF⊥AB． 结论3：M平分PQ． 结论4：PA平分∠A1AB，PB平分∠B1BA． 结论5：||= 结论6：= 结论7：A、O、B1三点共线， B、O、A1三点共线 结论1 PA⊥PB． 证明： ，， ∴= -1 ∴PA⊥PB． 结论2 PF⊥AB． 证明： P(- ,),F(,0), = == ∴-1 ∴PF⊥AB． 结论3 M平分PQ． 证明： P(- ,)，Q( ,) ∴= ∴=== ∴M平分PQ． 结论4 PA平分∠A1AB，PB平分∠B1BA． 证明： ，，， ∴ +=p= ∵||=||