2024年九年级数学中考复习《猜想—探究—拓展—应用压轴题型》专题突破训练

2024年春九年级数学中考复习《猜想—探究—拓展—应用压轴题型》 专题突破训练（附答案） 1．综合与实践 如图1，在中，， ．    猜想证明：（1）如图1，点D在边上 ．将沿所在直线折叠，点C的对应点为E ．试猜想四边形的形状并加以证明 ． 实践探究：（2）如图2，拓展小组受此问题启发，将沿过点C的直线折叠 ．点B的对应点为G ．且于点H ．若，，求的长 ． 问题解决：（3）如图3 ．探究小组突发奇想，将沿过点A的直线折叠，若，，，直接写出的长 ． 2．综合与实践 综合与实践课上，老师与同学们以“特殊的三角形”为主题开展数学活动． (1)操作判断 如图1，在中，，，点是直线上一动点． 操作：连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，如图2． 根据以上操作，请判断：如图3，当点与点A重合时，四边形的形状是________． (2)迁移探究 ①如图4，当点与点重合时，连接，则四边形的形状是________． ②当点与点A，点都不重合时，试猜想与的位置关系，并利用图2证明你的猜想； (3)拓展应用 当点与点A，点都不重合时，若，，请直接写出的长． 3．综合与实践 【问题情境】如图1，点是等边内一点，连接，将绕点，逆时针旋转得到线段，连接． 【独立思考】试猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【实践探究】如图2，将绕点顺时针旋转，得到线段，连接，试猜想四边形的形状，并说明理由． 【拓展延伸】如图3，设，连接，求的最小值（直接写出答案）．      4．【问题背景】（1）如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则有，试说明理由； 【迁移应用】（2）如图2，四边形中，，，点E、F分别在边、上，，若，都不是直角，且，试探究、、之间的数量关系； 【联系拓展】（3）如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，猜想、、满足的等量关系．（直接写出结论，不需要证明）．    5．综合与实践 问题情境： 在矩形中，对角线、交于点O，交于点E，连接，F是的中点． 探究发现： (1)如图1，直接写出和的数量关系：______； (2)探究拓展：勤奋小组的同学们在射线上任取一点P，将射线绕点O逆时针旋转得射线，使，与射线交与点Q．在如图2中，猜想并证明线段与线段之间的数量关系． (3)探究拓广：在（2）的条件下，若，，当时，直接写出的长度． 6．某校组织数学兴趣探究活动，爱思考的小实同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”如图、图、图中，、是的中线，于点，像这样的三角形均称为“中垂三角形”． 【特例探究】 (1)如图，当，时，______，______； 如图，当，时，______，______； 【归纳证明】 (2)请你观察（）中的计算结果，猜想、、三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图证明你的结论． 【拓展证明】 (3)如图，在中，，，、、分别是边、、的中点，连结并延长至，使得，连结，当于点时，求的长． 7．综合与实践 问题情境： 如图（1），等腰直角三角形和等腰直角三角形的直角顶点C重合，，，．将绕点C顺时针旋转，连接，延长交直线于点F．   猜想证明： （1）如图（2），当时，判断四边形的形状，并说明理由． （2）如图（3），在旋转的过程中，连接，探究之间的数量关系． 拓展应用： （3）在旋转的过程中，当的一个内角为时，若，请直接写出的长度． 8．【观察与猜想】 （1）如图1，在矩形中，点E、F分别在边、上，连接与交于点O，若，且，，则______； 【类比探究】 （2）如图2，在平行四边形中，点E、F分别在边、上，连接与交于点O，当与满足什么关系时，成立？请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点E在边上，连接与交于点O，当时，求的值． 9．【问题探究】（1）如图，锐角中，分别以、为边向外作等腰直角和等腰直角，使，，，连接，，请直接写出和的数量关系． 【深入探究】（2）如图，锐角中分别以、为边向外作等腰和等腰，使，，，连接、，试猜想与的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图，在中，，以为直角边，为直角顶点向外作等腰直角，连接，若，，求的长； 【解决问题】（4）如图，在四边形中，，，，，求的最大值． 10．【试题再现】如图1，中，，，直线过点，过点、分别作于点，于点，则（不用证明）．    (1)【类比探究】如图2，在中，，且，上述结论是否成立？若成立，请说明理由：若不成立，请写出一个你认为正确的结论． (2)【拓展延伸】①如图3，在中，，且，猜想线段、、之间有什么数量关系？并证明你的猜想． ②若图1的中，，，并将直线绕点旋转一定角度后与斜边相交，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为点和点，请在备用图上画出图形，并直接写出线段、、之间满足的一种数量关系（不要求写出证明过程）