（新课衔接）专题11 三角形的中位线-2023-2024学年八年级数学下学期寒假学习精讲练（苏科版）

2023-2024学年苏科版数学八年级寒假学习精讲练讲义 专题11 三角形的中位线 1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理． 2. 掌握中点四边形的形成规律. 考点01：三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半. 知识要点：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 考点02：顺次连接特殊的平行四边形各边中点 得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 知识要点：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 【典例讲解】（2023秋•龙口市期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BC＝8，F是线段DE上一点，连接AF，CF，EF＝3DF．若∠AFC＝90°，则AC的长度是 　6　． 【思路点拨】根据三角形中位线定理得到DE＝BC＝4，根据题意求出EF，根据直角三角形的性质求出AC． 【完整解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE＝BC＝4， ∵EF＝3DF ∴DE＝4DF， ∴DF＝DE＝1， ∴EF＝DE﹣DF＝3， ∵∠AFC＝90°，点E是AC的中点， ∴AC＝2EF＝6， 故答案为：6． 【考点剖析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 【变式训练1-1】（2023秋•杜尔伯特县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（　　） A．2 B． C．3 D． 【变式训练1-2】（2023春•金安区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为CA、CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若AC＝3，BC＝4，则EF的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 【变式训练1-3】（2023秋•岱岳区期末）如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点．对“中位线定理”逆向思考，可得以下3则命题： Ⅰ．若D是AB的中点，，则E是AC的中点； Ⅱ．若DE∥BC，，则D，E分别是AB，AC的中点； Ⅲ．若D是AB的中点，DE∥BC，则E是AC的中点． （1）从以上命题中选出一个假命题，并在图2中画出反例（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）从以上命题中选出一个真命题，并进行证明． 【变式训练1-4】（2023春•桥西区期末）【三角形中位线定理】 已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系； 【应用】 如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数； 【拓展】 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG． 求证：BD＝AC． 【思路点拨】【三角形中位线定理】根据三角形中位线定理即可得到结论； 【应用】连接BD，根据三角形中位线定理得到EF∥BD，BD＝2EF＝4，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，计算即可； 【拓展】取DC的中点H，连接MH、NH，则MH、NH分别是△ACD、△BCD的中位线，由中位线的性质定理可得MH∥AC且MH＝AC，NH∥BD且NH＝BD，根据等腰三角形的性质即可得结论． 一．选择题（共6小题） 1．（2023秋•驻马店期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2023秋•麦积区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，若CD＝10，则EF的长为（　　） A．10 B．8 C