（新课衔接）专题10 正方形-2023-2024学年八年级数学下学期寒假学习精讲练（苏科版）

2023-2024学年苏科版数学八年级寒假学习精讲练讲义 专题10 正方形 1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系； 2．掌握正方形的性质及判定方法． 考点01：正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 知识要点：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 考点02：正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 知识要点：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 考点03：正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 考点04：特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 知识点01：正方形的性质 【典例讲解】（2023春•秦淮区期中）如图，正方形ABCD中，EB＝AB，ED＝CD，AC＝2，则△BED面积为 　　． 【思路点拨】过点E作EF⊥BD于点F，根据正方形的性质可得EB＝ED＝BD＝2，则△BDE为等边三角形，根据三线合一求出，再根据勾股定理求出EF，最后根据三角形的面积公式即可求解． 【完整解答】解：过点E作EF⊥BD于点F， ∵四边形ABCD为正方形，EB＝AB，ED＝CD， ∴EB＝AB＝ED＝CD， ∴EB＝ED＝BD＝2，则△BDE为等边三角形， ∵EF⊥BD， ∴， 在Rt△BEF中，根据勾股定理可得：， ∴△BED面积＝， 故答案为：． 【考点剖析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握正方形是四条边都相等，等边三角形“三线合一”，勾股定理． 【变式训练1-1】（2023秋•沙坪坝区校级期末）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，AB上，满足DE＝AF，连接CE，DF，点P，Q分别是DF，CE的中点，连接PQ．若∠ADF＝α．则∠PQE可以用α表示为（　　） A．α B．45°﹣α C． D．3α﹣45° 【变式训练1-2】（2023•天心区校级三模）如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BG⊥AE，垂足为点G，延长BG交CD于点F，连接AF． （1）求证：BE＝CF． （2）若正方形边长是5，BE＝2，求AF的长． 知识点02：正方形的判定 【典例讲解】（2023春•孝义市期中）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，请你添加一个条件使它是正方形，你添加的条件是 　 ． 【思路点拨】根据正方形的判定即可得到答案． 【完整解答】解：根据有一个内角为90°的菱形是正方形可知添加的条件∠ABC＝90°（答案不唯一）， 故答案为：∠ABC＝90°（答案不唯一）． 【考点剖析】本题考查正方形的判定，熟记由菱形为基础判定正方形的方法是解决问题的关键． 【变式训练2-1】（2023春•滨州期末）如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，且点A在△BCF内部．给出以下结论：①AC＝EF；②当∠BAC＝150°时，四边形ADFE是矩形；③当AB＝AC时，四边形ADFE是菱形；④当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形ADFE是正方形．其中正确结论有 　 ．（填上所有正确结论的序号）． 【变式训练2-2】（2023秋•登封市校级期末）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF． （1）求证：四边形AFBD是平行四边形； （2）填空：①当△ABC满足条件∠BAC＝90°时，四边形AFBD是 　 　形； ②当△ABC满足条件 　时，四边形AFBD是正方形． 【变式训练2-3】（2022秋•市北区校级期末）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF． （1）求证：D是BC的中点； （2）如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并说明理由． 知识点