（新课衔接）专题09 菱形-2023-2024学年八年级数学下学期寒假学习精讲练（苏科版）

2023-2024学年苏科版数学八年级寒假学习精讲练讲义 专题09 菱形 1. 理解菱形的概念. 2. 掌握菱形的性质定理及判定定理． 考点01：菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 知识要点：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 考点02：菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 知识要点：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 考点03：菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 知识要点：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 知识点01：菱形的性质 【典例讲解】（2023秋•渝中区校级期末）如图，四边形ABCD是菱形，AC、BD交于点E，DF⊥AB交AB于点F，连接EF，若AC＝16，EF＝6，则DF＝　9.6　． 【思路点拨】由菱形的性质得到AC⊥BD，BE＝DE，AE＝AC，由直角三角形斜边中线的性质求出BD＝12，由勾股定理求出AB＝＝10，由菱形的面积公式得到AB•DF＝AC•BD，即可求出DF＝9.6． 【完整解答】解：∵ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，BE＝DE，AE＝AC， ∵DF⊥AB， ∴∠BFD＝90°， ∴EF＝BD， ∵EF＝6， ∴BD＝12， ∴BE＝BD＝6， ∵AC＝16， ∴AE＝×16＝8， ∴AB＝＝10， ∵菱形ABCD的面积＝AB•DF＝AC•BD， ∴10DF＝×16×12， ∴DF＝9.6． 故答案为：9.6． 【考点剖析】本题考查菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线，关键是由菱形的面积公式得到AB•DF＝AC•BD． 【变式训练1-1】（2023秋•鹿寨县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△CDE的面积为（　　） A．11 B．12 C．24 D．22 【变式训练1-2】（2023秋•禅城区期末）如图，点E、F分别在菱形ABCD的边BC、CD上，且BE＝DF．求证：AE＝AF． 知识点02：菱形的判定 【典例讲解】（2023春•泗水县期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知AB∥CD，AB＝CD，请你添加一个条件 　，使四边形ABCD是菱形． 【思路点拨】根据菱形的判定解答即可． 【完整解答】解：∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 添加AC⊥BD或AB＝AD， ∴▱ABCD是菱形， 故答案为：AC⊥BD或AB＝AD（答案不唯一）． 【考点剖析】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 【变式训练2-1】（2023春•绥江县期中）在平面直角坐标系中，已知A（0，0）、B（6，0），点C在第一象限，且AC＝BC＝6，若存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 　 【变式训练2-2】（2023秋•九江期中）一张矩形纸ABCD，将点B翻折到对角线AC上的点M处，折痕CE交AB于点E．将点D翻折到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F，折叠出四边形AECF． （1）求证：AF∥CE； （2）当∠BAC＝　 　度时，四边形AECF是菱形？说明理由． 【变式训练2-3】（2023•南海区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE． （1）求证：CE＝AD； （2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由． 知识点03：菱形的判定与性质 【典例讲解】