（新课衔接）专题08 矩形-2023-2024学年八年级数学下学期寒假学习精讲练（苏科版）

2023-2024学年苏科版数学八年级寒假学习精讲练讲义 专题08 矩形 1. 理解矩形的概念. 2. 掌握矩形的性质定理与判定定理. 考点01：矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 知识要点：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 考点02：矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 知识要点：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 考点03：矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 知识要点：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 考点04：直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 知识要点：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用. （2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半. （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 知识点01：直角三角形斜边上的中线 【典例讲解】（2023秋•榆阳区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，且AD＝4，则BC＝（　　） A．6 B．8 C．9 D．10 【思路点拨】根据斜边的中线等于斜边的一半，熟记相关结论即可求解． 【完整解答】解：∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线， ∴BC＝2AD＝8． 故选：B． 【考点剖析】本题考查了直角三角形的特征：掌握斜边的中线等于斜边的一半，熟记相关结论是解题关键． 【变式训练1-1】（2023•大石桥市模拟）如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点，连接MC，MD，CD，若CD＝6，则△MCD的面积 　 　． 【变式训练1-2】（2023春•汉寿县期末）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E，F分别是AC，BD的中点． （1）若AC＝10，EF＝3，求BD的长； （2）当∠BAD＝45°时，证明：△BED是直角三角形． 知识点02：矩形的性质 【典例讲解】（2023秋•太原期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，且BE＝1，若EA平分∠BED，则AD的长是（　　） A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 【思路点拨】证出AD＝DE，设AD＝BC＝x，则CE＝x﹣1，由勾股定理可得出答案． 【完整解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝3， ∴∠C＝90°，AD＝BC，AB＝DC＝3，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵EA平分∠BED， ∴∠AEB＝∠AEF， ∴∠AEF＝∠DAE， ∴AD＝DE， 设AD＝BC＝x，则CE＝x﹣1， ∵CE2+CD2＝DE2， ∴（x﹣1）2+32＝x2， ∴x＝5， ∴AD＝5， 故选：B． 【考点剖析】本题考查矩形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质、勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握以上知识． 【变式训练2-1】（2023秋•沙坪坝区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线BD的中垂线交BC于点E，交AD于点F，则CE的长为 　　． 角是直角、对边相等以及线段垂直平分线的定义是解题的关键． 【变式训练2-2】（2023春•太康县期末）如图，在矩形ABCD中，点E为对角线BD中点，过E作FH⊥BD，交AD于点F，交BC于点H，连接BF，DH． （1）试判断四边形BFDH的形状，并说明理由； （2）若AB＝12，AD＝18，求BH的长． 【变式训练2-3】（2023春•思明区校级期末）在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝15，E、F是对角线AC上的两个点，AE＝CF＝3.5，动点G、H，分