第七章 复数（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高一数学单元速记·巧练（人教A版2019必修第二册）

第七章 复数（知识归纳+题型突破） 1.了解数系的扩充过程； 2.理解复数的概念、表示法； 3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件. 4.理解可以用复平面内的点和向量来表示复数及它们之间的一一对应关系； 5.掌握实轴、虚轴、模等概念以及用向量的模来表示复数的模的方法. 6.通过对复数的几何意义的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养. 7.掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义。 8.掌握复数代数形式的乘法和除法运算，培养数学运算的核心素养； 9.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律，提升数学运算的核心素养。 知识点1：复数的概念 （1）复数的概念 我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集. 复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部. （2）复数相等 在复数集中任取两个数，，（），我们规定. 知识点2：复数的分类 对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下: 知识点3：复数的几何意义 （1）复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 （2）复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 知识点4：复数的模 向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). 知识点5：共轭复数 （1）定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. （2）表示方法 表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则. 知识点6：复数代数形式的加法运算及其几何意义 （1）复数的加法法则 设，，（）是任意两个复数，那么它们的和： 显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数 （2）复数加法的几何意义 如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即： ，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行. 知识点7：复数代数形式的减法运算及其几何意义 （1）复数的减法法则 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作 注意：①两个复数的差是一个确定的复数； ②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. （2）复数减法的几何意义 复数 向量 知识点8：()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. 知识点9：复数代数形式的乘、除法运算 （1）复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 （2）复数的除法法则 （） 由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数. 知识点10：共轭复数的性质 设，（） ①；②为实数；③且为纯虚数 ④；⑤，， 题型一：复数的有关概念 例题1．（2024·吉林白山·统考一模）复数，则的虚部为（    ） A． B． C．2 D． 例题2．（2024·全国·高一假期作业）复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的实部为 D．的虚部为 例题3．（2023下·上海奉贤·高一校考期末）“”是“复数是纯虚数”的（    ）条件. A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分又不必要 巩固训练 1．（2024上·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）已知，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·高一假期作业）下列关于复数的说法一定正确的是（    ） A．是虚数 B．存在x使得是纯虚数 C．不是实数 D．实部和虚部均为1 3．（2023上·广东湛江·高二校考阶段练习）已知复数，则的实部是（    ） A．2 B．0 C． D． 题型二：复数的相等 例题1．（2024·全国·高一假期作业）已知是虚数单位，，则（    ） A． B． C．2 D． 例题2．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）设，则复数的模为（   ） A． B． C．1 D． 例题3．（2023下·广东东莞·高一校考阶段练习）已知复数，，则 ． 巩固训练 1．（2024上·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）已知，则（    ） A．1 B． C．3 D． 2．（2023上·四川成都·高三校考阶段练习）设，其中是实数