5.4.4三角函数的图象与性质-课时4 正切函数的图象与性质课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

5.4三角函数的图象与性质 第4课时 正切函数的图象与性质 第五章 三角函数 探究一：正切函数的周期性与奇偶性 问题：(1)角的正切是如何定义的? (2)在单位圆中如何表示? (3)根据我们知道tan(𝑥+π)=tan𝑥，那么与相等吗？ 情境设置 【解析】(1) 设是一个任意角，，它的终边与单位圆相交于点 . 把点的纵坐标与横坐标的比值叫作的正切函数，记作，即. (3)相等.当为奇数时，； 当为偶数时，.所以. 2 新知生成 知识点一 正切函数的周期性与奇偶性 1.周期性：正切函数是周期函数，，最小正周期是π. 注意：一般地，函数的最小正周期，常常利用此公式来求周期. 2.奇偶性：正切函数是奇函数，即 注意：若函数𝑦=𝐴tan(𝜔𝑥+𝜑)为奇函数，则𝜑=𝑘π或𝜑=𝑘π+ (𝑘∈𝐙)，否则为非奇非偶函数. 3 一、正切函数的周期性与奇偶性 例题1 (1)求函数的最小正周期； (2) 判断函数的奇偶性. 【解析】(1) 由正切函数的最小正周期公式，得 ， 的最小正周期是 . (2)由题意可知，化解函数，函数的定义域为 ，定义域关于原点对称， ， 是奇函数. 4 反思感悟 方法总结 与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略 (1)一般地，函数的最小正周期为，常常利用此公式来求周期. (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断与的关系. (3)因为正切函数是奇函数，所以原点是函数图象的一个对称中心，同样，结合函数的图象，可以得到都是正切函数图象的对称中心. 5 新知运用 跟踪训练1 (1)判断函数的奇偶性； (2)若函数的最小正周期是，求 【解析】(1)要使有意义，必须满足，即且, 所以定义域关于原点对称，又因为，故函数为奇函数. (2)依题意可知，，所以 6 探究二：正切函数的图象及应用 如下图为函数，的图象，根据图象回答下面的问题： 情境设置 问题：(1)直线与函数的图象的两交点，之间的距离是多少? (2)函数,的值域是什么? 【解析】 (1)由图象结合正切函数的周期性可知，两交点之间的距离为 . (2)函数的值域是R. 7 新知生成 知识点二 正切函数图象 1. 正切函数的图象叫作正切曲线. 2.正切函数的图象特征 (1)正切曲线是由被相互平行的直线，所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的. (2)正切函数的定义域为，值域为R. (3)正切函数的对称中心为. (4)正切函数的单调性：在上单调递增，无递减区间. 8 二、正切函数图象及应用 例题2 比较设函数. (1) 求函数的最小正周期、图象的对称中心； (2) 作出函数在一个周期内的简图. 【解析】(1) 由 ，得 ，令 ， ，解得 ， ，故 图象的对称中心的坐标为 ， . (2) 令 ，解得 ，令 ，解得 ， 令 ，解得 ，令 ，解得 ， 令 ，解得 ，在 内，左右两侧相 邻的渐近线方程分别为 和 ，从而得到函数 在一个周期 内的简图(如图). 9 反思感悟 方法总结 正切函数图象画法: (1)注意函数的定义域. (2)注意周期性(研究其一个周期内的图象，再利用周期性，延展到定义域上即可)、奇偶性及对称中心. 10 新知运用 跟踪训练2 已知函数. (1) 求函数的定义域； (2)用定义判断函数的奇偶性； (3)作出函数在上的图象. 【解析】(1) 由 ，得 ， ， 所以函数 的定义域是 . (2)由(1)知函数 的定义域关于原点对称， 因为 ， 所以 是奇函数. (3)因为 所以 在 上的图象如图所示. 11 三、正切函数的单调性及应用 例题3 (1)比较下列两个数的大小 (用“ ”或“ ”填空)： ① _____ ；② _____ . (2)求函数的单调递增区间. 【解析】(1) ① ，且 ，又 在 上单调递增， 所以 ，即 . ② ， ，因为 ，又 在 上单调递增，所以 ，即 . (2) 令 ， ，解得 ， ，函数 的单调递增区间为 12 反思感悟 方法总结 (1)运用正切函数的单调性比较大小的方法 ①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. ②运用单调性比较大小关系. (2)求函数的单调区间的方法 函数的单调区间的求法是把看成一个整体，解 ，即可.当时，先用诱导公式把化为正值再求单调区间. 13 新知运用 跟踪训练3 求函数的单调递减区间. 【解析】函数可化为 ， 由 ， ，得 ， ， 故函数的单调递减区间为 . 14 四、正切函数图象与性质的综合运用 例题4 求设函数. (1) 求函数的定义