4.4数学归纳法-2023-2024学年高二数学高分必刷常考题型专练（人教A版2019选择性必修第二册)

4.4数学归纳法 知识点：1．数学归纳法 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数 n0 的所有正整数 n 都成立时，可以用以下两个步骤： （1）证明当 n＝n0 时命题成立； （2）假设当 n＝k（k∈N+，且 k≥n0）时命题成立，证明 n＝k+1 时命题也成立． 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于 n0 的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法． 2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可． （1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性． 在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立． （2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没 有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对 n0+1， n0+2，…，是否正确． 在第二步中，n＝k 命题成立，可以作为条件加以运用，而 n＝k+1 时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定 理，定义加以证明． 完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论． 3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： ①明确初始值 n0 并验证真假．（必不可少） ②“假设 n＝k 时命题正确”并写出命题形式． ③分析“n＝k+1 时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项． ④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设 考点01：数学归纳法证明恒等式 1．用数学归纳法证明：，当时，左式为，当时，左式为，则应该是（    ） A． B． C． D． 2．用数学归纳法证明：的过程中，由递推到时等式左边增加的项数为（    ） A．1 B． C． D． 考点02：数学归纳法证明整除问题 3．用数学归纳法证明：能被整除（） 4．用数学归纳法证明：可以被7整除. 考点03：数学归纳法证明几何问题 5．设平面内有条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设条直线的交点个数为，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 6．平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这n个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明． 考点04：数学归纳法证明数列问题 7．用数学归纳法证明：对于任意正整数都有：. 8．已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 考点05：数学归纳法证明其他问题 9．已知，用数学归纳法证明时，比多了 项． 10．试证用面值为3分和5分的邮票可支付任何分的邮资． 考点06：推理证明解决探究问题 11．已知存在常数，使等式对都成立，则 ． 12．请观察下列三个式子： ①； ②； ③． 归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明． 考点07：数学归纳法 13．（多选）下列结论能用数学归纳法证明的是（    ） A． B． C． D． 14．（多选）已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当n＝1，2，…，1000时，p(k)成立，且当n＝1001时也成立，则下列判断中正确的是（    ） A．p(k)对k＝528成立 B．p(k)对每一个自然数k都成立 C．p(k)对每一个正偶数k都成立 D．p(k)对某些偶数可能不成立 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.4数学归纳法 知识点：1．数学归纳法 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数 n0 的所有正整数 n 都成立时，可以用以下两个步骤： （1）证明当 n＝n0 时命题成立； （2）假设当 n＝k（k∈N+，且 k≥n0）时命题成立，证明 n＝k+1 时命题也成立． 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于 n0 的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法． 2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可． （1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性． 在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立． （2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没 有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对 n0+1， n0+2，…，是否正确． 在第二步中，n＝k 命题成立，可以作为条件加以运用，而 n＝k+1 时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定 理，定义加以证明． 完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论． 3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： ①明确初始值 n0 并验证真假．（