12.3角的平分线的性质　讲义　2023—2024学年人教版数学八年级上册

12.3 角平分线的性质★★★★★★ 【新手目标】 会尺规作图作出角平分线，知道角平分线的性质和判定定理。 关卡2-1 作角平分线★★☆☆☆☆ 【过关笔记】 角平分线的作法——尺规作图 已知∠AOB ，求作∠AOB的平分线 1.以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N； 2.分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C； 3.画射线OC，射线OC即为所求角平分线。 【依据】1.三边分别相等的两个三角形全等；2.全等三角形的对应角相等。 练习：作∠ABC的角平分线。 关卡2-2 性质和判定★★★★☆☆ 【过关笔记】 一、角平分线段性质 1. 性质：角平分线上的点到角的两边距离相等。 证明：△OPD≌△OPE(AAS) 2. 书写格式（性质直接用，不需上面的推导过程）： ∵点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥AO，PE⊥OB，垂足分别为D、E，∴PD=PE 二、角平分线的判定定理 1.判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 3. 书写格式（判定定理直接用，不需上面的推导过程）： ∵PD⊥AO，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD=PE，则点P在∠AOB的平分线上 4.角平分线的性质与判定的关系 【成长例题】 性质-例题1-1（2021·雁南·期中）如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E．若AC＝5cm，DE＝2cm，则△ACD的面积为（　B　） A．2.5cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．10cm2 例题1-2如图所示，已知PA、PC分别是△ABC的外角∠DAC、∠ECA的平分线，PM⊥BD，PN⊥BE，垂足分别为M、N，那么PM与PN的关系是 相等 例题1-3如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，DC=AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于 2 例题1-4如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC， （1）分别作出D到BA、BC的距离DE、DF； （2）求证：∠A+∠C＝180°． 【解答】解：（1）如图所示：． （2）证明：∵BD平分∠ABC，DE⊥BA，DF⊥BC， ∴DE＝DF，∠E＝∠DFC＝90°， ∴在Rt△DEA和Rt△DFC中 ∴Rt△DEA≌Rt△DFC（HL）， ∴∠C＝∠EAD， ∵∠BAD+∠EAD＝180°， ∴∠BAD+∠C＝180°． 判定-例题2-1（2021·雁南·期中）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线． 如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　A　） A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 例题2-2如图所示，已知PA=PB，∠1+∠2=180°，求证：OP平分∠AOB． 例题3（2021·五中·期中）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（　C　） A．40° B．45° C．50° D．60° 例题4（2022·一中·期中）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，则下列结论中正确的个数（　D　） ①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④若PM⊥BE，PN⊥BC，则AM+CN＝AC． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【过关练习】 练习1（2022·一中·月考）如图，在x轴，y轴上分别截取OA，OB，使OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为（a，2a﹣3），则a的值为　3　． 性质-练习2-1（2021·五中·期中）如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝36cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，则DE＝　2.4　cm． 练习2-2（2021·育才·期中）如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM＝PN． 所有 【解答】证明：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD， 在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB＝∠CDB，∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD， 练习2-3如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB=9cm，则△DEB的