11.2 与三角形有关的角 讲义-2023-2024学年人教版数学八年级上册

11.2 与三角形有关的角★★★★☆☆ 【新手目标】 会利用三角形内角和定理求角，利用直角三角形的性质和判定进行简单计算与证明，会利用三角形的外角的性质进行计算与证明。 关卡3-1 内角★★★★☆☆ 【过关笔记】 1.三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180° 任意三角形内角和都等于180°，与三角形形状无关。 运用三角形内角和定理可求角的度数以及判定三角形的形状。 2.直角三角形 (1)性质：直角三角形的两个锐角互余。 在△ABC中，如果∠C=90°，那么∠A+∠B=90° (2)判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。 在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么∠C=90°，即△ABC是直角三角形 【成长例题】 例题1（2022·十七中·月考）一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（　D　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 例题2-1（2022·十七中·月考）如图，AD是△ABC的角平分线，BE是△ABC的高，∠BAC＝40°，则∠AFE的度数为　70°　． 例题2-2（2022·一中·月考）AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝130°，∠C＝30°，则∠DAE的度数是　5°　． 例题3 （2020·五中·月考）在△ABC中，已知∠A=∠B=∠C，则△ABC的形状是　 直角三角形 　． 例题4-1（2022·十七中·月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC，BE⊥AD于E，若∠BAC＝56°，求∠DBE的度数． 【解答】解：∵∠BAC＝56°， ∵AD平分∠BAC，∴∠BAE∠BAC＝28°，∴∠C+∠ABC＝180°﹣56°＝124°， ∵∠ABC＝3∠C，∴∠C＝31°，∴∠ABC＝93°， 在Rt△ABE中，∴∠ABE＝62°，∵∠DBE＝∠ABC﹣∠ABE＝93°﹣62°＝31°． 例题4-2（2022·老边实验·月考）如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝70°，∠C＝50°，求∠DAC和∠BOA的度数． 【解答】解：∵AD是BC上的高，∴∠ADC＝90°， 又∵∠C＝50°，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝40°，∵∠BAC＝70°，AE平分∠BAC， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝60°，∠BAO∠BAC＝35°， ∵BF平分∠ABC，∴∠ABO∠ABC＝30°， ∴∠AOB＝180°﹣∠ABO﹣∠BAO＝180°﹣30°﹣35°＝115°． 例题5-1（2022·十七中·月考）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，将△ADE沿DE折叠至△FDE位置，点A的对应点为F．若∠A＝15°，∠BDF＝120°，则∠DEF的度数为（　A　） A．135° B．130° C．125° D．120° 例题5-2（2022·老边实验·月考）如图，把△ABC沿EF翻折，叠合后的图形如图，若∠A＝60°，∠1＝95°，则∠2的度数是（　C　） A．15° B．20° C．25° D．35° 【过关练习】 练习1（2019·一中·月考）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（　D　） A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45° C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90° 练习2（2022·老边实验·月考）（2019•抚顺）一副直角三角尺如图摆放，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，∠F＝45°，则∠CED的度数是（　A　） A．15° B．25° C．45° D．60° 练习3（2022·十七中·月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则其顶角为（　D　） A．45° B．135° C．45°或67.5° D．45°或135° 练习4（2022·育才·月考）已知△ABC中，∠A＝55°，三条高所在直线的交点为H点，则∠BHC＝　125°或55°．　． 练习5（2021·育才·期中）在△ABC中，BC=6，BC边上的高AD=5，且BD=2，则△ACD的面积为 10或20 . 练习6（2022·十七中·月考）如图，△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数． 【解答】解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°， 又∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°， ∵AE、BF是角平分线，∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°， ∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°， ∴∠BOA＝∠EAF+∠AF