7.2.4 诱导公式（一）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第三册）

7.2.4诱导公式（一） 我们利用单位圆定义了三角函数，而圆具有很好的对称性,能否从单位圆关于x轴、y轴、直线y=x的轴对称性以及关于原点O的中心对称性等出发，获得一些三角函数的性质呢？这节课我们就来研究这个问题. 1.识记诱导公式（一)、(二)、(三)、（四）.（重点） 2.理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明.（难点） 探究点1：角与()的三角函数值之间的关系 思考1：如果已知， 你能用表示出吗？ 【提示】因为，所以与是终边相同的角，它们的正弦值相同，因此，. 思考2：与角终边相同的角如何表示？ 思考3：角与()的正弦、余弦和正切之间存在怎样的关系？ 【提示】三角函数值相同 公式（一） 实质：终边相同，三角函数值相等 用途：“大”角化“小”角 作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为0º～360º之间角的正弦、余弦、正切. 例1.求下列各值. （1）；（2）；（3）. 【解析】(1). (2). (3) 探究点2：角与的三角函数值之间的关系 思考1：角与角终边位置有什么关系？ M 【提示】关于轴对称 一般地，角的终边和角的终边关于角的终边所在的直线对称. 思考2：角与角的正弦、余弦和正切之间存在怎样的关系？ 【提示】如图，根据三角函数线的定义 我们可以看出： －α与α的正弦互为相反数，余弦相等，正切互为相反数. sin(－α)=－sinα, cos(－α)= cosα, tan(－α)=－tanα. 用途：“负”角化“正”角 公式（二） 例2.求下列各值. （1）；（2）；（3）; (4). 【解析】(1). (2). (3). (4) . 探究点3：角与的三角函数值之间的关系 思考1：角与角终边位置有什么关系？ 【提示】如图所示，π-α与α的终边关于y轴对称 M M ′ N 1 -1 思考2：角与角的正弦、余弦和正切之间存在怎样的关系？ π-α与α的正弦相等，余弦互为相反数，正切互为相反数. 【提示】根据三角函数线的定义我们可以看出： sin(π－α)=sinα; cos(π－α)=－cosα; tan(π－α)= －tanα. sin(180°－α)=sinα; cos(180°－α)= －cosα; tan(180°－α)= －tanα. 公式（三） M M ′ N 1 -1 用途：“大”角化“小”角 作用：把0º～360º角的正弦、余弦、正切化为锐角的正弦、余弦、正切. 例3.求下列各值. （1）；（2）；（3）. 【解析】(1). (2). (3). 思考3：角与角的正弦、余弦和正切之间存在怎样的关系？ 你能根据前面的知识推导出来吗？ 【提示】由公式（二）、公式（三）可以得到 . 同理，. . 追问：你能根据三角函数线推导出这些关系吗？ 如图可以看出π+α与α的正弦相反，余弦相反，正切相等. 公式（四） sin(π+α)=-sinα; cos(π+α)=-cosα; tan(π+α)= tanα. sin(180°+α)=-sinα; cos(180°+α)= -cosα; tan(180°+α)= tanα. 用途：“大”角化“小”角 例4.求下列各值. （1）；（2）；（3）. 【解析】(1). (2). (3). 例5.化简： 【解析】 利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数一般可按下面步骤进行: 0～2π角的三角函数 锐角三角函数 用公式(二) 用公式（三） 任意负角的三角函数 任意正角的三角函数 负化正、大化小、化到锐角为终了 $$