精品解析：北京市东城区2024届高三上学期期末统一检测数学试题

东城区2023—2024学年度第一学期期末统一检测 高三数学 第一部分 一､选择题共10小题，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数z满足，则z的共轭复数 A. B. C. D. 3. 的展开式中，的系数为（ ） A. 1 B. 5 C. 10 D. 20 4. 设等比数列的各项均为正数，为其前项和，若，则（ ） A 6 B. 8 C. 12 D. 14 5. 已知非零向量，，满足，且，对任意实数，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体中，，，分别是，的中点.用过点且平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（ ） A B. C. D. 7. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 一粒子在平面上运动轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立直角坐标系后，该粒子的运动轨迹如图所示.在时刻，粒子从点出发，沿着轨迹曲线运动到，再沿着轨迹曲线途经点运动到，之后便沿着轨迹曲线在，两点之间循环往复运动.设该粒子在时刻的位置对应点，则坐标，随时间变化的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 已知线段的长度为是线段上的动点（不与端点重合）.点在圆心为，半径为的圆上，且不共线，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，对于下列四个判断： ①函数一个周期为； ②函数的值域是； ③函数的图象上存在点，使得其到点的距离为； ④当时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点． 正确的判断是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 第二部分 二､填空题共5小题. 11. 函数的定义域为__________. 12. 已知双曲线：，则双曲线的渐近线方程是__________；直线与双曲线相交于，两点，则__________. 13. 已知函数，若，则的一个取值为__________. 14. 设函数 ①若，则的最小值为__________. ②若有最小值，则实数的取值范围是__________. 15. 一般地，对于数列，如果存在一个正整数，使得当取每一个正整数时，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的一个周期.给出下列四个判断： ①对于数列，若，则为周期数列； ②若满足：，则为周期数列； ③若为周期数列，则存在正整数，使得恒成立； ④已知数列的各项均为非零整数，为其前项和，若存在正整数，使得恒成立，则为周期数列. 其中所有正确判断的序号是__________. 三､解答题共6小题，解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程. 16. 如图，在直三棱柱中，分别为的中点. （1）求证：平面； （2）若点是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 17. 在中， （1）求； （2）若为边上一点，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：的周长为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 某科目进行考试时，从计算机题库中随机生成一份难度相当的试卷.规定每位同学有三次考试机会，一旦某次考试通过，该科目成绩合格，无需再次参加考试，否则就继续参加考试，直到用完三次机会.现从2022年和2023年这两年的第一次、第二次、第三次参加考试的考生中，分别随机抽取100位考生，获得数据如下表： 2022年 2023年 通过 未通过 通过 未通过 第一次 60人 40人 50人 50人 第二次 70人 30人 60人 40人 第三次 80人 20人 人 人 假设每次考试否通过相互独立. （1）从2022年和2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率； （2）小明在2022年参加考试，估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率； （3）若2023年考生成绩合格的概率不低于2022年考生成绩合格的概率，则的最小值为下列数值中的哪一个？（直接写出结果） 的值 83 88 93 19. 已知椭圆的右焦点为，左､右顶点分别为，. （1）求椭圆的方程； （2）设是坐标原点，是椭圆上不同的两点，且关于轴对称，分别为线段的中点，直线与椭圆交于另一点.证明：三点共线. 20. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若，求证：函数在上有极大值，且. 21. 若有穷数列满足：，则称此数列