压轴大题专练(05)（Word练习）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

压轴大题专练(05) 1．已知函数f(x)＝ex－a(x－1)(a∈R). (1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的极值； (2)若函数g(x)＝f(x)＋ln x－e在(1，＋∞)无零点，求实数a的取值范围． 解：(1)由题知，当a＝1时，f(x)＝ex－(x－1)，x∈R， ∴f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，x＝0. ∴x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． ∴x＝0是f(x)的极小值点， ∴f(x)的极小值为f(0)＝2，无极大值． (2)由题知g(x)＝f(x)＋ln x－e ＝ex－a(x－1)＋ln x－e，x＞1， ∴g′(x)＝ex－a＋，x＞1； 令h(x)＝ex－a＋，x＞1，∴h′(x)＝ex－＝， ∵x＞1，∴x2＞1，ex＞e， ∴x2ex＞e，∴h′(x)＞0恒成立， ∴h(x)单调递增，即g′(x)单调递增． ①当a≤e＋1时，∴g′(x)＞g′(1)＝e＋1－a≥0， ∴g(x)单调递增． ∴g(x)＞g(1)＝0恒成立， 即g(x)在(1，＋∞)上无零点，∴a∈(－∞，e＋1]. ②当a＞e＋1时，令g′(x)＝0，x＝x0， x0∈(1，＋∞)，又g′(x)单调递增， ∴x∈(1，x0)时，g′(x)＜0，x∈(x0，＋∞)时，g′(x)＞0， ∴g(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增， ∴g(x)min＝g(x0)＜g(1)＝0， 又∵x→＋∞时，g(x)→＋∞， ∴∃x1∈(x0，＋∞)，g(x1)＝0， 即g(x)在(1，＋∞)上有零点，不合题意； 综上所述a∈(－∞，e＋1]. 2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过焦点F斜率为的直线交抛物线于A、B两点(点A在第一象限)，交抛物线准线于G，且满足|BG|＝. (1)求抛物线的标准方程； (2)已知C，D为抛物线上的动点，且OC⊥OD，求证直线CD过定点P，并求出P点坐标； (3)在(2)的条件下，求·的最大值． (1)解：过点B作准线的垂线，垂足为H，设准线与x轴相交于点M，如图， 由题知，直线l的倾斜角为. ∴在Rt△BGH中，∠GBH＝， 又∵|BG|＝，∴|BH|＝，∴|BF|＝. ∴|GF|＝|BG|＋|BF|＝4， ∴在Rt△GFM中，又∠MFG＝， ∴|MF|＝2，∴p＝2， ∴抛物线的标准方程为y2＝4x. (2)证明：由(1)可知，抛物线方程为y2＝4x， 设直线CD的方程为x＝my＋t， C(，y1)，D(，y2)， 直线与抛物线联立：得 y2－4my－4t＝0， 则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t， ∵kOC＝，kOD＝且OC⊥OD， ∴kOC·kOD＝＝＝－1则t＝4， ∴直线CD过定点(4，0)，即P点坐标为(4，0). (3)解：由(2)可知P点坐标为(4，0)， ∴·＝－(y＋y)＋16＋y1y2＝－16m2－16， ∴·的最大值为－16. 学科网（北京）股份有限公司 $$