专题检测(二十二) 利用导数研究函数零点（Word练习）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

专题检测(二十二)　利用导数研究函数零点 1．已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1). (1)若a＝3，求f(x)的单调区间； (2)证明：f(x)只有一个零点． (1)解：当a＝3时，f(x)＝x3－3x2－3x－3， f′(x)＝x2－6x－3. 令f′(x)＝0，解得x＝3－2或x＝3＋2. 当x∈(－∞，3－2)∪(3＋2，＋∞)时，f′(x)＞0； 当x∈(3－2，3＋2)时，f′(x)＜0. 故f(x)的单调递增区间是(－∞，3－2)，(3＋2，＋∞)，单调递减区间是(3－2，3＋2). (2)证明：因为x2＋x＋1＞0， 所以f(x)＝0等价于－3a＝0. 设g(x)＝－3a， 则g′(x)＝≥0， 仅当x＝0时，g′(x)＝0， 所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增． 故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点． 又f(3a－1)＝－6a2＋2a－＝－6(a－)2－＜0， f(3a＋1)＝＞0，故f(x)有一个零点． 综上，f(x)只有一个零点． 2．(2022·福建龙岩一模)已知函数f(x)＝ax ln x＋1，g(x)＝(a－2)x2－3ex－2＋2x ln x＋1，a∈R. (1)当a＝3时，判断函数f(x)的零点个数； (2)若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝3时，f(x)＝3x ln x＋1(x＞0)， f′(x)＝3(ln x＋1). 由f′(x)＞0得x＞；由f′(x)＜0，得0＜x＜， ∴f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增， ∴f(x)min＝f()＝＜0， 又f()＝＞0，f(1)＝1＞0， ∴f()f()＜0，f()f(1)＜0， ∴f(x)在(0，)，(，＋∞)上各有一个零点， 所以函数f(x)有2个零点． (2)由题意得ax ln x≥(a－2)x2－3ex－2＋2x ln x(x＞0)， ∴a ln x≥(a－2)x－＋2ln x， ∴a(x－ln x)≤＋2(x－ln x)， ∴a(x－ln x)≤3ex－ln x－2＋2(x－ln x)， 令x－ln x＝t(x＞0)，t′＝1－＝(x＞0)， 由t′＜0得0＜x＜1，函数y＝t单调递减； 由t′＞0得x＞1，函数y＝t单调递增， ∴x＝1时，tmin＝1，∴t≥1， a≤3·＋2对t≥1恒成立， 令h(t)＝(t≥1)， h′(t)＝＝， ∵t≥1，∴h′(t)≥0， ∴h(t)在[1，＋∞)上为单调递增函数， ∴h(t)≥h(1)＝，∴a≤＋2. 即实数a的取值范围是(－∞，＋2]. 3．(2022·广东广州一模)已知函数f(x)＝ex＋sin x－cos x，f′(x)为f(x)的导数． (1)证明：当x≥0时，f′(x)≥2； (2)设g(x)＝f(x)－2x－1，证明：g(x)有且仅有2个零点． 证明：(1)由f′(x)＝ex＋cos x＋sin x， 设h(x)＝ex＋cos x＋sin x， 则h′(x)＝ex－sin x＋cos x， 当x≥0时，设p(x)＝ex－x－1，q(x)＝x－sin x， ∵p′(x)＝ex－1≥0，q′(x)＝1－cos x≥0， ∴p(x)和q(x)在[0，＋∞)上单调递增， ∴p(x)≥p(0)＝0，q(x)≥q(0)＝0， ∴当x≥0时，ex≥x＋1，x≥sin x， 则h′(x)＝ex－sin x＋cos x≥x＋1－sin x＋cos x＝(x－sin x)＋(1＋cos x)≥0， ∴函数h(x)＝ex＋cos x＋sin x在[0，＋∞)上单调递增， ∴h(x)≥h(0)＝2， 即当x≥0时，f′(x)≥2. (2)由已知得g(x)＝ex＋sin x－cos x－2x－1， ①当x≥0时， ∵g′(x)＝ex＋cos x＋sin x－2＝f′(x)－2≥0， ∴g(x)在[0，＋∞)上单调递增， 又∵g(0)＝－1<0，g(π)＝eπ－2π>0， ∴由零点存在性定理可知g(x)在[0，＋∞)上仅有一个零点． ②当x<0时，设m(x)＝(x＜0)， 则m′(x)＝≤0， ∴m(x)在(－∞， 0)上单调递减，∴m(x)>m(0)＝1， ∴ex＋cos x＋sin x－2<0， ∴g′(x)＝ex＋cos x＋sin x－2<0， ∴g(x)在(－∞， 0)上单调递减， 又∵g(0)＝－1<0，g(－π)＝e－π＋2π>0， ∴由零点存在性定理可知g(x)在(－∞， 0)上仅有一个零点． 综上所述，g(x)有且仅有2个零点． 4．(2022·江苏苏州模拟)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋－5. (1)证明：f(x)<； (2)若函数f(x)的图象与g(x)的图象有两个不同的公共点，求实数a的取值