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高考倒计时 第7天 直线与圆
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x+y-3=0
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eq \a\vs4\al(知识结论)
1.直线的有关问题
(1)直线方程的五种形式
①点斜式: y-y0=k(x-x0);
②斜截式:y=kx+b;
③两点式: eq \f(y-y1,y2-y1) = eq \f(x-x1,x2-x1) (x1≠x2,y1≠y2);
④截距式: eq \f(x,a) + eq \f(y,b) =1(a≠0,b≠0);
⑤一般式:Ax+By+C=0(A,B不同时为0).
(2)三种距离公式
①两点间的距离:若A(x1,y1),B(x2,y2),
则|AB|= eq \r((x2-x1)2+(y2-y1)2) .
②点到直线的距离:点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的距离d= eq \f(|Ax0+By0+C|,\r(A2+B2)) .
③两平行线的距离:若直线l1,l2的方程分别为l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,则两平行线的距离d= eq \f(|C2-C1|,\r(A2+B2)) .
(3)直线的两种位置关系
①当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时:
(ⅰ)两直线平行:l1∥l2⇔k1=k2.
(ⅱ)两直线垂直:l1⊥l2⇔k1k2=-1.
②当两直线方程分别为l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0时:
(ⅰ)平行⇔A1B2-A2B1=0(斜率相等)且B1C2-B2C1≠0(在y轴上截距不相等);
(ⅱ)相交⇔A1B2-A2B1≠0;
(ⅲ)重合⇔A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1=0;
(ⅳ)垂直⇔A1A2+B1B2=0.
2.圆的有关问题
(1)圆的两种方程
①圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(圆心(a,b),半径r).
②圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
(2)判断直线与圆的位置关系的方法
①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况):Δ>0⇔相交;Δ<0⇔相离;Δ=0⇔相切.
②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小):设圆心到直线的距离为d,则d<r⇔相交,d>r⇔相离,d=r⇔相切(主要掌握几何方法).
(3)直线与圆相交时的弦长公式
设圆的半径为R,圆心到弦的距离为d,则弦长l=2 eq \r(R2-d2) .
(4)若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则该点的切线方程为x0x+y0y=r2.
(5)两圆圆心距与两圆半径之间的关系与两圆的位置关系
设圆O1的半径为r1,圆O2的半径为r2(r1≠r2).
圆心距与两圆半径的关系
两圆的
位置关系
|O1O2|<|r1-r2|
内含
|O1O2|=|r1-r2|
内切
|r1-r2|<|O1O2|<|r1+r2|
相交
|O1O2|=|r1+r2|
外切
|O1O2|>|r1+r2|
外离
eq \a\vs4\al(易错易混)
1.易忽视直线方程的几种形式的限制条件,如根据直线在两轴上的截距相等设方程时,忽视截距为0的情况,直接设为 eq \f(x,a) + eq \f(y,a) =1;再如,过定点P(x0,y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y-y0=k(x-x0)等.
2.讨论两条直线的位置关系时,易忽视系数等于零时的讨论导致漏解,如两条直线垂直时,一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0.
3.圆的标准方程中,易