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高考倒计时 第11天 三角函数、解三角形
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eq \a\vs4\al(知识结论)
1.由sin α±cos α符号判断α终边的位置
(1)sin α-cos α>0⇔α终边在直线y=x上方(特殊地,当α终边在第二象限时有 sin α-cos α>1);
(2)sin α+cos α>0⇔α终边在直线y=-x上方(特殊地,当α终边在第一象限时有sin α+cos α>1).
2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin (α±β)=sin αcos β±cos αsin β;
(2)cos (α±β)=cos αcos β∓sin αsin β;
(3)tan (α±β)= eq \f(tan α±tan β,1∓tan αtan β) ;
(4)辅助角公式:a sin α+b cos α= eq \r(a2+b2) sin (α+φ)= eq \r(a2+b2) cos (α-θ).其中tan φ= eq \f(b,a) ,tan θ= eq \f(a,b) .
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α=2sin αcos α;
(2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
(3)tan2α= eq \f(2tan α,1-tan2α) .
4.降幂公式
(1)sin2α= eq \f(1-cos2α,2) ;(2)cos2α= eq \f(1+cos2α,2) .
5.正弦定理
eq \f(a,sin A) = eq \f(b,sin B) = eq \f(c,sin C) =2R(2R为△ABC外接圆的直径).
变形:a=2R sin A,b=2R sin B,c=2R sin C.
sin A= eq \f(a,2R) ,sin B= eq \f(b,2R) ,sin C= eq \f(c,2R) .
a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.
6.余弦定理
a2=b2+c2-2bc cos A,b2=a2+c2-2ac cos B,
c2=a2+b2-2ab cos C.
推论:cos A= eq \f(b2+c2-a2,2bc) ,cos B= eq \f(a2+c2-b2,2ac) ,
cos C= eq \f(a2+b2-c2,2ab) .
变形:b2+c2-a2=2bc cos A,a2+c2-b2=2ac cos B,
a2+b2-c2=2ab cos C.
7.面积公式
S△ABC= eq \f(1,2) bc sin A= eq \f(1,2) ac sin B= eq \f(1,2) ab sin C.
eq \a\vs4\al(易错易混)
1.在求三角函数的值域(或最值)时,不要忽略x的取值范围.
2.求y=A sin (ωx+φ)的单调区间时,要注意ω,A的符号.ω<0时,应先利用诱导公式将x的系数转化为正数后再求解;在书写单调区间时,不能弧度和角度混用,需加2kπ时,不要忘掉k∈Z,所求区间一般为闭区间.
3.对三角函数的给值求角问题,应选择该角所在范围内是单调函数,这样,由三角函数值才可以唯一确定角,若角的范围是(0, eq \f(π,2) ),选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围是(- eq \f(π,2) , eq \f(π,2) ),选正弦较好.
4.利用正弦定理解三角形时,注意解的个数讨论,可能有一解、两解或无解.在△ABC中