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高考倒计时 第14天 集合与常用逻辑用语、不等式
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eq \a\vs4\al(知识结论)
1.集合运算的重要结论
(1)A⊆B⇔A∩B=A;A⊆B⇔A∪B=B.
(2)A∩(∁UA)=∅,A∪(∁UA)=U,∁U(∁UA)=A.
2.全称量词命题、存在量词命题及其否定
命题名称
符号表示
命题的否定
全称量词命题
∀x∈M,p(x)
∃x∈M, ¬p(x)
存在量词命题
∃x∈M,p(x)
∀x∈M, ¬p(x)
3.充要关系与集合的子集之间的关系
设A={x|p(x)},B={x|q(x)},
(1)若A⊆B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.
(2)若AB,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件.
(3)若A=B,则p是q的充要条件.
4.常用的几个重要不等式
(1)a+b≥2 eq \r(ab) (a>0,b>0);
(2)ab≤( eq \f(a+b,2) )2(a,b∈R);
(3)( eq \f(a+b,2) )2≤ eq \f(a2+b2,2) (a,b∈R);
(4) eq \f(b,a) + eq \f(a,b) ≥2(a,b同号).
以上不等式等号成立的条件均为当且仅当a=b时.
eq \a\vs4\al(易错易混)
1.遇到A∩B=∅时,你是否注意到“极端”情况:A=∅或B=∅;同样在应用条件A∪B=B⇔A∩B=A⇔A⊆B时,不要忽略A=∅的情况.
2.要弄清先后顺序:“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A,且A不能推出B;而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B,且B不能推出A.
3.容易忽视使用基本不等式求最值的条件,即“一正、二定、三相等”导致错解,如函数f(x)= eq \r(x2+2) + eq \f(1,\r(x2+2)) 的最值,就不能利用基本不等式求解;求解函数y=x+ eq \f(3,x) (x<0)的最值时应先转化为正数再求解.
eq \a\vs4\al(小题演练)
1.(2022·山东济南一模)已知全集U={x|x>0},集合A={x|x(x-1)<0},则∁UA=( )
A.{x|x>1或x<0}
B.{x|x≥1或x≤0}
C. {x|x>1}
D.{x|x≥1}
解析:因为A={x|x(x-1)<0}={x|0<x<1},且U={x|x>0},所以∁UA={x|x≥1}.
2.(2022·山东枣庄模拟)已知x>1,则x+ eq \f(1,x-1) 的最小值是( )
A.6
B.5
C.4
D.3
解析:∵x>1,故x-1>0, eq \f(1,x-1) >0,
∴x-1+ eq \f(1,x-1) +1≥2 eq \r((x-1)·\f(1,x-1)) +1=2+1=3,当且仅当x-1= eq \f(1,x-1) ,即x=2时,等号成立,故x+ eq \f(1,x-1) 的最小值是3.
3.(2022·山东济宁一模)已知集合A={y|y=2x, x≥0},B={x|y=ln (2-x)},则A∩B=( )
A.[1, 2]
B.(1, 2)
C.[1, 2)
D.(-∞,+∞)
解析:由已知A={y|y=2x, x≥0}=[1,+∞),
B={x|y=ln (2-x)}=(-∞, 2),∴A∩B=[1, 2).
4.(2022·山东聊城一模)设集合A={x|x=2k-1, k∈Z},B={x|0≤x+1<6},则A∩B=( )
A.{1, 3}
B.{-1,