内容正文:
中篇 重点专题 专项提能
板块二 高考拉分专题
专题六 解析几何
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第三讲 解析几何(大题)
第1课时 直线与圆锥曲线的位置关系及证明问题
考点一
直线与圆锥曲线的位置关系问题
eq \a\vs4\al(必备知识)
1.直线与圆锥曲线相交时的弦长
斜率为k的直线与圆锥曲线交于点A(x1, y1),B(x2, y2)时,|AB|= eq \r(1+k2) |x1-x2|= eq \r(1+k2) eq \r((x1+x2)2-4x1x2) 或|AB|= eq \r(1+(\f(1,k))2) |y1-y2|
= eq \r(1+(\f(1,k))2)
eq \r((y1+y2)2-4y1y2) .
2.求解直线与圆锥曲线基本问题的方法
直线与圆锥曲线的位置关系问题充分体现了方程思想、化归思想及数形结合思想,着重考查数学运算及逻辑推理能力,其解法一般是:
(1)设直线方程,在直线斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在进行讨论,或将直线方程设成x=my+b的形式;
(2)联立直线方程与曲线方程并将其转化为一元二次方程,利用判别式或根与系数的关系得到交点横坐标或纵坐标的关系.
(2019·全国Ⅰ卷)已知拋物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为 eq \f(3,2) 的直线l与抛物线C的交点为A,B,与x轴的交点为P.
(1)若|AF|+|BF|=4,求直线l的方程;
(2)若 eq \o(AP,\s\up15(→)) =3 eq \o(PB,\s\up15(→)) ,求|AB|.
解:设直线l:y= eq \f(3,2) x+t,
A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)由题设得F( eq \f(3,4) ,0) ,
故|AF|+|BF|=x1+x2+ eq \f(3,2) .
又|AF|+|BF|=4,所以x1+x2= eq \f(5,2) ,
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y=\f(3,2)x+t,,y2=3x,)) 可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,
则x1+x2=- eq \f(12(t-1),9) .
从而- eq \f(12(t-1),9) = eq \f(5,2) ,得t=- eq \f(7,8) .
所以直线l的方程为y= eq \f(3,2) x- eq \f(7,8) ,即12x-8y-7=0.
(2)由 eq \o(AP,\s\up15(→)) =3 eq \o(PB,\s\up15(→)) 可得y1=-3y2.
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y=\f(3,2)x+t,,y2=3x,)) 可得y2-2y+2t=0,
所以y1+y2=2,从而-3y2+y2=2,
故y2=-1,y1=3,
代入抛物线C的方程得x1=3,x2= eq \f(1,3) .
故|AB|= eq \f(4\r(13),3) .
解决直线与椭圆综合问题的注意点
(1)注意观察应