内容正文:
中篇 重点专题 专项提能
板块二 高考拉分专题
专题六 解析几何
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第三讲 解析几何(大题)
第3课时 定点、定值与存在性问题
考点一
定点与存在性问题
eq \a\vs4\al(必备知识)
1.圆锥曲线中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆过定点的问题(其他曲线过定点太复杂,高中阶段一般不涉及),是高考重点考查的考点和热点之一.其实质是当动直线或动圆变化时,这些直线或圆相交于一点,即这些直线或圆绕着定点在转动.
2.探究性问题是高考命题的热点内容,往往与证明问题结合考查. 圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明,有时与探究性问题综合,一般先假设结论成立,再进行论证.
(2022·全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过A(0,-2),B( eq \f(3,2) ,-1)两点.
(1)求E的方程;
(2)设过点P(1,-2)的直线交E于M,N两点,过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点H满足 eq \o(MT,\s\up15(→)) = eq \o(TH,\s\up15(→)) .证明:直线HN过定点.
(1)解:∵椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过A(0,-2),
∴可设椭圆E的方程为 eq \f(x2,a2) + eq \f(y2,4) =1(a>0),
又椭圆E过B( eq \f(3,2) ,-1),∴ eq \f(9,4a2) + eq \f(1,4) =1,得a2=3,
∴E的方程为 eq \f(x2,3) + eq \f(y2,4) =1.
(2)证明:当直线MN的斜率不存在时,lMN:x=1,
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x=1,,\f(x2,3)+\f(y2,4)=1,)) 得y2= eq \f(8,3) ,∴y=± eq \f(2\r(2),\r(3)) .
结合题意可知M(1,- eq \f(2\r(2),\r(3)) ),N(1, eq \f(2\r(2),\r(3)) ),
∴过M且平行于x轴的直线的方程为y=- eq \f(2\r(2),\r(3)) .
易知点T的横坐标xT∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(3,2))) ,
直线AB的方程为y-(-2)= eq \f(-1-(-2),\f(3,2)-0) ×(x-0),
即y= eq \f(2,3) x-2,
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y=-\f(2\r(2),\r(3)),,y=\f(2,3)x-2,))