内容正文:
中篇 重点专题 专项提能
板块一 高考满分专题
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第一讲 坐标系与参数方程
本讲内容为高考选考必考内容之一,考题难度中低档,以解答题形式出现在试卷的第22题位置.高考对本讲的考查主要有以下两方面:
(1)参数方程、极坐标与曲线的关系;
(2)由参数方程、极坐标方程求解曲线的一些基本量,主要是极坐标与直角坐标、参数方程(直线、圆、椭圆的参数方程)与普通方程的互化问题及应用等,考查知识点较为简单和稳定.
考点一
极坐标方程及其应用
(2021·全国乙卷)在直角坐标系xOy中,⊙C的圆心为C(2,1),半径为1.
(1)写出⊙C的一个参数方程;
(2)过点F(4,1)作⊙C的两条切线,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程.
解:(1)由⊙C的圆心为C(2,1),半径为1,得圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1,
则⊙C的一个参数方程为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x=2+cos α,y=1+sin α)) (α为参数).
(2)易知两条切线的斜率均存在.
设切线方程为y-1=k(x-4),
即kx-y+1-4k=0.
由直线与圆相切得圆心(2,1)到切线的距离为1,得 eq \f(|2k-1+1-4k|,\r(k2+(-1)2)) =1,
∴3k2=1,∴k=± eq \f(\r(3),3) .
∴切线l1的直角坐标方程为y= eq \f(\r(3),3) (x-4)+1,
切线l2的直角坐标方程为y=- eq \f(\r(3),3) (x-4)+1.
由x=ρcos θ,y=ρsin θ,
得切线l1的极坐标方程为 eq \r(3) ρcos θ-3ρsin θ-4 eq \r(3) +3=0,
切线l2的极坐标方程为 eq \r(3) ρcos θ+3ρsin θ-4 eq \r(3) -3=0.
1.求曲线的极坐标方程的一般思路
曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解,然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程.熟练掌握互换公式是解决问题的关键.
2.解决极坐标交点问题的一般思路
(1)将极坐标方程化为直角坐标方程,求出交点的直角坐标,再将其转化为极坐标;
(2)将曲线的极坐标方程联立,根据限制条件求出交点的极坐标.
(2022·四川泸州模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C: eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x=2cos θ,y=3sin θ)) (θ为参数),直线l: eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x=2+t,y=4-2t)) (t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求曲线C和直线l的极坐标方程;
(2)点P在直线l上,射线O