微点培优5 极值点偏移问题（Word教参）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

微点培优5　≡极值点偏移问题≡ 1．已知函数f(x)图象的顶点的横坐标就是极值点x0，若f(x)＝c的两根的中点刚好满足＝x0，即极值点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏移，此时函数f(x)在x＝x0两侧，函数值变化快慢相同，如图①所示． 图① (无偏移，左右对称，二次函数) 若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝2x0. 2．若≠x0，则极值点偏移，此时函数f(x)在x＝x0两侧，函数值变化快慢不同，如图②③所示． 图② (左陡右缓，极值点向左偏移) 若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＞2x0. 图③ (左缓右陡，极值点向右偏移) 若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＜2x0. 考向一 对称变换 (2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x(1－ln x). (1)讨论f(x)的单调性； (2)设a，b为两个不相等的正数，且b ln a－a ln b＝a－b，证明：2＜＋＜e. (1)解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 由题意，得f′(x)＝1－ln x＋x·(－)＝－ln x， 令f′(x)＝0得x＝1， 所以当x∈(0，1)时，f′(x)＞0，此时f(x)单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，此时f(x)单调递减． (2)证明：由b ln a－a ln b＝a－b， 得＋＝＋，(1－ln )＝(1－ln )， 即f()＝f(). 设b＞a＞0，由(1)知0＜a＜1，b＞1， 所以＞1，0＜＜1，2－＜1. 设g(x)＝f(x)－f(2－x)，x＞1， 则g′(x)＝－ln x－ln (2－x)＝－ln [x(2－x)]＞0， 所以g(x)在(1，＋∞)上是增函数， 所以g(x)＞g(1)＝0， 所以f()＞f(2－)，所以f()＞f(2－). 因为x∈(0，1)时，f(x)单调递增， 所以＞2－，即＋＞2. 同理，设h(x)＝f(x)－f(e－x)，0＜x＜1， 则h′(x)＝－ln x－ln (e－x)＝－ln [x(e－x)]. 令x(e－x)＝1， 解得x1＝，x2＝，易知0＜x1＜1＜x2， 所以当x∈(0，x1)时，h′(x)＞0，h(x)在(0，x1)上单调递增； 当x∈(x1，1)时，h′(x)＜0，h(x)在(x1，1)上单调递减． 当x→0时，h(x)→0，当x＝1时，由(1)知h(1)＞0. 所以当x∈(0，1)时，f(x)＞f(e－x)， 所以f()＝f()＞f(e－). 因为x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减， 所以＜e－，所以＋＜e. 综上所述， 2＜＋＜e. 对称变换，主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题. 其解题要点如下： (1)定函数(极值点为x0)：即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点x0； (2)构造函数：即根据极值点构造对称函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)，若证x1x2>x，则令F(x)＝f(x)－f()； (3)判断单调性：即利用导数讨论F(x)的单调性； (4)比较大小：即判断函数F(x)在某段区间上的正负，并得出f(x)与f(2x0－x)的大小关系； (5)转化：即利用函数f(x)的单调性，将f(x)与f(2x0－x)的大小关系转化为x与2x0－x之间的关系，进而得到所证或所求． 已知函数f(x)＝(x－1)ex－a，a∈R. (1)若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围； (2)设x1，x2是函数f(x)的两个零点，证明：x1＋x2＜0. (1)解：由f(x)＝0得a＝(x－1)ex， 令g(x)＝(x－1)ex， ∵g′(x)＝ex＋(x－1)ex＝xex， 由g′(x)＞0得x＞0， ∴函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 由g′(x)＜0得x＜0， ∴函数g(x)在(－∞，0)上单调递减， ∴当x＝0时，函数g(x)有极小值同时也是最小值， 当x→＋∞时，g(x)→＋∞， 当x→－∞时，g(x)＜0，且g(x)→0， 作出函数y＝g(x)的图象如图所示， g(x)min＝g(0)＝－1， 则要使a＝g(x)有两个不同的零点， 则－1＜a＜0， 故a的取值范围是(－1，0). (2)证明：∵x1，x2是函数f(x)的两个零点， ∴由(1)知x1x2＜0，且f(x1)＝f(x2)＝0， 不妨设x1＜0，x2＞0，则－x2＜0， 令F(x)＝f(x)－f(－x)＝(x－1)ex＋(1＋x)e－x， 则F′(x)＝x(ex－e－x). 当x＜0时，F′(x)＝x(ex－e－x)＞0， 此时F(x)在(－∞，0)上为增函数， ∴F(x)＜F(0)，即F(x)＝f(x)－f(－x)＜0， 即f(x)＜f(－x).∵－x2＜0，∴f(－x2)＜f(x2). ∵f(x1)＝f(x2)＝0，∴f(