第01讲 等腰三角形 （重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年八年级数学下册重难点突破+分层训练同步精讲练（北师大版）

第01讲 等腰三角形 （重难点突破） 【知识点一、等腰三角形】 1.等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 说明：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . 2.等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 3.等腰三角形的性质的作用 性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据． 性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． 4.等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴． 5.等腰三角形的判定 如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 说明：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 【知识点二、等边三角形】 1.等边三角形定义： 三边都相等的三角形叫等边三角形.　　 说明：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包 括等边三角形． 2.等边三角形的性质： 等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°. 3.等边三角形的判定： （1）三条边都相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 4.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 题型一 等边对等角求角度 1．如果一个等腰三角形其中一个内角的补角为，那么顶角的度数为（    ） A． B． C． D．或 【变式训练1-1】、如图，，则（   ）度． A．10 B．15 C．20 D．25 【变式训练1-2】、如图，在中，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点D，连接，则（    ） A． B． C． D． 题型二 根据等边对等角证明 2．如图，已知，，和相交于点．求证：． 【变式训练2-1】、如图，，点在的延长线上，与相交于点，且为的中点．求证：． 【变式训练2-2】、如图，在中，，，点D在的延长线上，点E在上，且，试判断与的位置关系，并证明你的结论． 题型三 找出等腰三角形 3. 如图所示，共有等腰三角形（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 【变式训练3-1】、如图，已知线段的端点在直线上（与不垂直）请在直线上另找一点，使是等腰三角形，这样的点能找（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练3-2】、如图，四边形沿对角线对折后重合，连接交于点，若，则图中等腰三角形的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型四 作出等腰三角形 4. “已知等腰三角形的底边和底边上的高，用尺规作图求作等腰三角形”里用到的基本作图是 A．作一条线段等于已知线段，作已知线段的垂直平分线 B．作已知角的平分线 C．过直线外一点作已知直线的垂线 D．作一个角等于已知角 【变式训练4-1】、如图，在中，，根据作图痕迹，可知（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 题型五 等边三角形的性质 5．如图，若是等边三角形，是的平分线，延长到E，使，则（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式训练5-1】、如图，直线，是等边三角形，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】、如图，在正中，点D是边上任意一点，过点D作于F，交于点E，则的度数为（　　） A． B． C． D． 题型六 等边三角形的判定 6．有下列三角形：①有两个角等于的三角形；②有一个角等于的三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式训练6-1】、下列条件不能判定是等边三角形的是（    ） A． B． C．， D． 【变式训练6-2】、下列条件：①三条边都相等的三角形；②三个内角都相等的三角形；③一边上的高与中线重合的三角形；④有一个角为的等腰三角形．能判定三角形