例谈选函数图像常用的方法-《中学生数理化》高考理化2024年1月刊

例谈选函数图像常用的方法 ■北京市第十九中学 公衍录(特级教师) 选择符合题意的函数图像一直是高考考 查的热点问题之一,下面结合实例介绍选函 数图像常用的几种方法,供同学们参考。 一、根据函数表达式选择函数图像 先根据题意和物理规律,推导出图像纵、 横坐标轴代表的物理量满足的关系式———函 数表达式,再依据“函数表达式与函数图像相 对应”选出符合题意的图像。例如,若函数表 达式形如y=kx+b,则对应的函数图像为直 线;若函数表达式形如y=ax2+bx+c(a≠ 0),则对应的函数图像为抛物线。 例 1 在t=0时刻,将一物体(可视为 质点)竖直向上抛出,忽略空气阻力。以抛出 点为坐标原点、竖直向上为正方向,如图1所 示的四个选项中能正确反映该物体的动量p 随时间t变化、动能Ek 随位移x 变化的图像 是( )。 图1 解析:设物体的初速度为v0,则t时刻物 体的速度v=v0-gt,动量p=mv,解得p= mv0-mgt,因此物体的动量p 与时间t是一 次函数关系,对应的函数图像是一条直线,且 直线的斜率k=-mg,选项A正确,B错误。 根据速度与位移的关系式v2-v20=-2gx, 动能Ek= 1 2mv 2,解得Ek= 1 2mv 2 0-mgx, 因此物体的动能Ek 与位移x 是一次函数关 系,对应的函数图像是一条直线,且直线的斜 率k=-mg,选项C、D错误。 答案:A 例 2 滑沙是人们喜爱的一项游乐活 动。如图2所示为滑沙场地的一段,人和滑 车从斜面顶端A 点由静止下滑,斜面的倾角 图2 为θ,取沿斜面向下为正 方向,如图3所示的四个 选项分别是人和滑车沿 斜面向下运动过程中的 加速度a 与时间t、速度 v 与位移x、重力的瞬时 功率P重 与时间t、动能Ek 与位移x 的关系 图像,其中正确的是( )。 图3 解析:选由人和滑车组成的整体为研究 对象,在整体沿斜面下滑的过程中,根据牛顿 第二定律得 mgsin θ-f=ma,解 得 a= gsin θ-fm ,因此a-t图像是一条平行于t轴 的直线,选项A错误。根据速度与位移的关 系式v2=2ax,解得v= 2ax,因此v-x 图 像是一条过原点且开口向右的抛物线的一部 分,选项B错误。整体在t时刻的瞬时速度 v=at,重力的瞬时功率P重=mgvsin θ,解得 P重=mgasin θ·t,因此P重-t图像是一条过 原点的倾斜直线,选项C错误。在整体沿斜 面下滑位移x 的过程中,根据动能定理得 Ek=(mgsin θ-μmgcos θ)x,因此Ek-x 图 像是一条过原点的倾斜直线,选项D正确。 答案:D 图4 例 3 如图4所示,足够 长光滑斜面倾角为θ,在沿斜面 向上的恒力F 作用下,物体从 斜面底端由静止开始向上运 动,当物体滑动到某一高度处时撤去恒力F。 以地面为零势能面,设物体的重力势能为 Ep,机械能为E,则在物体沿斜面向上运动的 整个过程中,如图5所示的Ep 和E 随时间t 23 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2024年1月 变化的图像正确的是( )。 图5 解析:撤去恒力 F 前,设物体做匀加速 运动的加速度大小为a1,末速度为v,位移为 x1,根据运动学公式得F-mgsin θ=ma1, x1= 1 2a1t 2;撤去恒力F 后,设物体做匀减速 运动的加速度大小为a2,位移为x2,根据运 动学公式得mgsin θ=ma2,x2=vt- 1 2a2t 2。 撤去恒力F 前,t时刻物体的重力势能Ep= mgh=mgx1sin θ= 1 2mga1sin θ·t2,其中a1 为定值,因此Ep-t图像为过原点且开口向上 的抛物线的一部分。撤去恒力F 时,设物体 沿斜面方向的位移为x0,撤去恒力F 后,t时 刻物体的重力势能Ep=mg(x0+x2)sin θ= - 1 2mga2sin θ·t2+mgvsin θ·t+mgx0sin θ, 其中a2、v 均为定值,因此Ep-t图像为开口 向下的抛物线的一部分,选项 A正确,B错 误。根据除重力、弹力以外的其他力做功等 于物体机械能的增加量可知,撤去恒力 F 前,物体的机械能 E=Fx1= 1 2Fa1t 2,因此 E-t图像为过原点且开口向上的抛物线的一 部分。撤去恒力F 后,只有重力做功,物体 的机械能保持不变,因此E-t图像是一条平 行于t轴的直线,选项C、D错误。 答案:A 二、利用图像斜率的情况选择函数图像 先分析图像斜率表示的物理量,例如v-t 图像的斜率表示加速度,x-t图像的斜率表示 速度,再利用已知条件判断该物理量是否变 化及如何变化,从而选出相应的函数图像。 例 4 “ETC”是不