高考全国卷中三角函数解答题的命题趋势分析-《中学生数理化》高考数学2024年1月刊

■江苏省华罗庚中学 强 源 三角函数是高中重要的函数模型之一, 也是每年高考必考的内容,主要考查利用主 要三角公式进行恒等变形,考查三角函数的 单调性、对称性、周期性等性质。虽然近年来 高考全国卷中三角函数很少考解答题,但 2023年教育部教育考试院给四省联考的试 题出现三角函数的解答题,因此,同学们在备 考这部分内容时要引起足够重视。本文结合 例题梳理三角函数解答题的常考问题,目的 是帮助同学们了解高考命题趋势,把握备考 方向,从而提高备考效率。 例 1 已知函数f(x)=cos4x-sin4x +sin2x- π 6 。 (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)将 函 数 f(x)的 图 像 向 左 平 移 φ0<φ< π 4 个单位长度后得到函数g(x) 的图像,若函数g(x)的图像关于点 π 3 ,0 成 中 心 对 称,在 区 间 - π 4 ,α 上 的 值 域 为 - 1 2 ,1 ,求α的取值范围。 解析:(1)f(x)=cos4x -sin4x + sin2x- π 6 = 12cos 2x + 3 2 sin 2x = sin2x+ π 6 。 所以函数f(x)的最小正周期为 2π 2=π 。 (2)由 题 意 可 知,函 数 g (x)= sin2x+2φ+ π 6 。 因为函数g(x)的图像关于点 π 3 ,0 成 中心对称,所以2× π 3+2φ+ π 6=kπ ,k∈Z, 解得φ=- 5π 12+ kπ 2 ,k∈Z。 因为0<φ< π 4 ,所以k=1,φ= π 12 。 所以g(x)=sin2x+ π 3 。 当 x ∈ - π 4 ,α 时,有 2x + π3 ∈ - π 6 ,2α+ π 3 。 因为g(x)在区间 - π 4 ,α 上的值域为 - 1 2 ,1 ,所以π2≤2α+π3≤7π6,解得π12≤ α≤ 5π 12 。 所以α的取值范围为 π12 ,5π 12 。 评注:本题主要考查三角函数的恒等变 形,以及三角函数的周期性、对称性等知识, 试题难度不大,比较基础。 例 2 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,0<φ< π 2 同时满足下列四个 条件中的三个:①f - π 6 =0;②f(0)= -1;③最大值为2;④最小正周期为π。 (1)请写出函数f(x)的解析式,并说明 理由; (2)若函数f(x)在区间[0,α)上恰有3 个极值点,求α的取值范围。 解析:(1)依题意,若函数f(x)满足条件 ②,则f(0)=Asin φ=-1,这与A>0,0< φ< π 2 矛盾,所以f(x)不能满足条件②。 3 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年1月 所以f(x)应满足条件①③④。 由条件④得 2π ω =π ,且ω>0,所以ω= 2,由 条 件 ③ 得 A =2,再 由 条 件 ① 得 f - π 6 =2sin -π3+φ =0,且0<φ<π2, 所以φ= π 3 ,所以f(x)=2sin2x+ π 3 。 (2)因 为 x∈[0,α),所 以2x+ π 3∈ π 3 ,2α+ π 3 。 因为函数f(x)在区间[0,α)上恰有3个 极值点,所以5π 2<2α+ π 3≤ 7π 2 ,解得13π 12< α≤ 19π 12 。 所以α的取值范围为 13π12 ,19π 12 。 评注:本题以结构不良的形式呈现问题, 涉及的内容丰富,试题很好地体现了基础性 和综合性,需要同学们熟练掌握三角函数的 必备知识和关键能力,试题的难度不大,比较 基础。 例 3 已 知 函 数 f (x)= 23cosωx- π 4 sinωx+π4 +2cos ωx· sinωx- π 2 - 3+1(ω>0)的最小正周期 为π。 (1)求ω 的值; (2)求f(x)在 0,π 上的单调区间; (3)若方程f(x)=- 4 3 在 π 2 ,π 上的 解为α,β,求cos(α+β)的值。 解 析:(1)由 题 意 知,f (x)= 23cos - π 2+ ωx+ π 4 sin ωx+π4 - 2cos2ωx- 3+1=2 3sin2 ωx+ π 4 - 2cos2ωx- 3+1=23× 1-cos2ωx+ π 2 2 -2cos2ωx- 3+1= 3×(1+sin 2ωx)- 2× 1+cos 2ωx 2 - 3+1= 3sin 2ωx- cos 2ωx=2sin2ωx- π 6 。 因为f(x)的最小正周期为π,所以 2π 2ω= π,即ω=1。 (2)由 (1)知,ω=1,所 以 f(x)= 2sin2x- π 6