借助函数对称性，巧解数学综合题-《中学生数理化》高一数学2024年1月刊

■孙艳艳 函数的对称性是函数基本性质中最为特 殊的一个性质,在历年高考命题中,函数的对 称性常与函数的其他性质综合交汇,成为数 学分析、数学应用与数学研究的一大有力工 具。 一、函数对称性的一些重要“二级结论” 性质1:函数y=f(x+a)是偶函数⇔函 数y=f(x)的图像关于直线x=a对称⇔等 式f(a+x)=f(a-x)成立。 性质2:函数y=f(x+a)是奇函数⇔函 数y=f(x)的图像关于点(a,0)中心对称⇔ 等式f(a+x)=-f(a-x)成立。 推论1:等式f(x)+f(2a-x)=0成立 ⇔函数y=f(x)的图像关于点(a,0)中心对 称⇔函数y=f(x+a)是奇函数。 推论2:函数y=f(x+a)-b是奇函数 ⇔函数y=f(x)的图像关于点(a,b)中心对 称⇔等式f(a+x)+f(a-x)=2b成立。 性质3:函数y=f(a+x)与y=f(a- x)的图像关于y 轴对称,函数y=f(a+x) 与y=-f(a-x)的图像关于坐标原点对 称。 二、函数对称性的综合应用 1.函数值的求解 例1 设 函 数 f(x)的 定 义 域 为 R, f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当 x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b。若f(0)+ f(3)=3,则f 9 2 的值是( )。 A.- 5 4 B.- 3 4 C. 7 4 D. 5 4 分析:结合抽象函数的奇偶性和函数对 称性的性质,构建函数关系式,确定函数的周 期,利用赋值求出函数的解析式,即得函数的 值。 解:由f(x+1)为奇函数,结合性质2得 函数f(x)的图像关于点(1,0)对称,则f(1) =0,且f(x+1)=-f(-x+1)。 ① 由f(x+2)为偶函数,结合性质1得函 数f(x)的图像关于直线 x=2对 称,则 f(x+2)=f(-x+2)。 ② 由f(x+1)=-f(-x+1),可 得 f(x+2)=-f(-x),所以-f(-x)= f(x+2)=f(-x+2),可 得-f(x)= f(x+2)。由f(x+2)=f(-x+2),可得 f(x+4)=f(-x),所以f(x+4)=-f(x +2)。由上得 f(x+4)=f(x),即函数 f(x)的周期为4。令x=1,由①得f(2)= -f(0),由②得f(3)=f(1),由f(0)+ f(3)=3,可得-f(2)+f(1)=-(4a+b)+ (a+b)=-3a=3,解得a=-1。令x=0, 由①得f(1)=-f(1),解得f(1)=0,则 f(1)=a+b=0,解得b=1,所以f(x)=-x2+ 1,x∈ [1,2]。所 以 f 9 2 =f 12+4 = f 1 2 = f -12+1 = - f 12+1 = -f 3 2 =- - 32 2 + 1􀭤􀭥 􀪁􀪁 = 5 4 。应选D。 熟练掌握一些函数对称 性及其对应的关系式,可以较 快构建一些合适的关系式,为问题的有效解 决奠定基础。 2.代数式的求解 例2 已知函数f(x)=(2x2-4x+3)· (ex-1-e1-x)-2x+1在区间[0,2]上的最大 值为 M,最小值为m,则 M+m= 。 分析:构造函数g(x),结合关系式的结 11 知识结构与拓展 高一数学 2024年1月 构特征,得到g(x)+g(2-x)=0,确定函数 g(x)的中心对称,利用对称性的基本性质即 可求值。 解:依题意知f(x)=(2x2-4x+3)· (ex-1-e1-x)-2x+1=[2(x-1)2+1]· ex-1- 1 ex-1 -2(x-1)-1。构造函数g(x) =[2(x-1)2+1]ex-1- 1 ex-1 -2(x-1),则 g(2-x)=[2(1-x)2+1] 1 ex-1 -ex-1 - 2(1-x),可得g(x)+g(2-x)=0,结合推 论1知函数g(x)关于点(1,0)中心对称,所 以函数f(x)=g(x)-1在区间[0,2]上关于 点(1,-1)中心对称。 由函数对称性的基本性质,可知 M+ m=-1×2=-2。 抓住函数关系式的变形 与应用,构建不同函数关系式 之间的联系,为进一步利用函数的对称性质 提供条件。 3.不等式的求解 例3 已知f(x-1)是定义在R上的奇 函数,f(1)=0,且f(x)在[-1,0)上单调递 增,在 [0,+ ∞)上 单 调 递 减,则 不 等 式 f(2x-3)<0的解集为( )。 A.(1,2) B.(-∞,1) C.(2,+∞) D.(-∞,1)∪(2,+∞) 分析:利用函数的对称性与单调性,确定 函数的单调区间,通过自变量取值的分类讨 论,得到不等式的解集。 解:由f(x-1)