方程与不等式，函数和三角函数常见题型例析-《中学生数理化》高一数学2024年1月刊

■王 浩 题型1:方程与不等式 方程与不等式是高考的常考点,要掌握 方程的一些基本性质,如方程对应函数图像 的开口方向、对称轴、零点,以及图像的平移 等,要掌握一些重要不等式及其成立的条件 和相关定理。 例1 已知函数f(x)=x2-(m+2)x +6(m∈R)。 (1)解关于x 的不等式f(x)≥6-2m。 (2)若对任意的x∈[2,4],f(x)+m+ 1≥0恒成立,求实数m 的取值范围。 解:(1)由题意知f(x)=x2-(m+2)· x+6≥6-2m,即x2-(m+2)x+2m=(x -2)(x-m)≥0。 当m<2时,解得x≤m 或x≥2;当m= 2时,解得x∈R;当 m>2时,解得x≤2或 x≥m。 综上可得,当m<2时,不等式的解集为 {x|x≤m 或x≥2};当m=2时,不等式的解 集为R;当m>2时,不等式的解集为{x|x≤ 2或x≥m}。 (2)对任意的x∈[2,4],f(x)+m+1≥ 0恒成立,即对任意的x∈[2,4],x2-2x+ 7≥m(x-1)恒成立,所以m≤ x2-2x+7 x-1 = x-1+ 6 x-1 对任意的x∈[2,4]恒成立,所 以m≤ x-1+ 6 x-1 min,x∈[2,4]。 因为x-1+ 6 x-1≥2 (x-1) 6x-1 =26,当且仅当x=1+ 6时等号成立,所 以m≤26,即实数m∈(-∞,26]。 评注:解决方程与不等式问题要掌握一 些公式、定理的应用,要学会正面应用相关定 理,也要学会逆用定理,还要熟记一些公式的 变形应用。 题型2:函数 解答函数问题,要熟练掌握各类函数的 图像和相关性质,要学会应用函数与方程的 思想处理问题。 例2 已知定义在 R上的奇函数f(x) 满足f(x)=f(x+2),则以下说法错误的是 ( )。 A.f(0)=0 B.f(x)的一个周期为2 C.f(2023)=1 D.f(3)=f(4)+f(5) 解:由f(x)是R上的奇函数,可得f(0) =0,A正确。因为f(x)=f(x+2),所以2 是它的一个周期,B正确。f(2023)=f(2× 1011+1)=f(1),但f(1)的值不确定,C错 误。因为f(4)=f(0)=0,f(5)=f(3),所 以f(3)=f(4)+f(5),D正确。应选C。 评注:函数问题是一个比较综合的问题, 要学会利用函数的图像与性质解决问题。在 遇到一些比较麻烦的题目时,要学会运用分 类讨论的思想处理问题。 题型3:三角函数 三角函数是高考的一个热门考点,三角 函数的图像与性质是学习的重点,同时要熟 练掌握三角恒等变换的几种常用方法。 例3 已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) ω>0,|φ|≤ π 2 的图像关于直线x=π4对 称。 (1)若 f(x)的 最 小 正 周 期 为2π,求 f(x)的解析式。 (2)若x=- π 4 是f(x)的零点,是否存 在实数ω,使得f(x)在 7π 18 ,5π 9 上单调? 若 存在,求出ω 的取值集合;若不存在,请说明 理由。 解:(1)因为f(x)的最小正周期为2π, 所以 2π ω =2π 。因为ω>0,所以ω=1。 因为函数f(x)的图像关于直线x= π 4 74 经典题突破方法 高一数学 2024年1月 对称,所以π 4+φ=kπ+ π 2 ,k∈Z,即φ= kπ+ π 4 ,k∈Z。又 φ ≤ π 2 ,所以φ= π 4 ,所 以函数f(x)=sinx+ π 4 。 (2)因为x=- π 4 为函数f(x)的零点, 又x= π 4 为f(x)图像的对称轴,所以- π 4ω +φ=k1π, π 4ω+φ=k2π+ π 2 ,k1,k2∈Z。据 此可得 π 2ω= (k2-k1)π+ π 2 ,所 以 ω= 2(k2-k1)+1。 因为k1,k2∈Z,所以ω=2n+1(n∈N), 所以ω 为正奇数。 因为f(x)在 7π 18 ,5π 9 上单调,所以5π9- 7π 18= π 6≤ T 2 ,即T= 2π ω≥ π 3 ,解得ω≤6。 当ω=5时,- 5π 4+φ=k1π ,k1∈Z。因 为 φ ≤ π 2 ,所以φ= π 4 ,所以函数f(x)= sin5x+ π 4 。令 t =5x + π4,则 t ∈ 79π 36 ,109π 36 ,函数gt =sint。 因为函数 g t 在 79π 36 ,5π 2 上单调 递 增,在 5π 2 ,109π 36 上 单 调 递 减,所 以 函 数 f(x)在 7π 18 ,5π 9 上不单调,不符合题意。 当ω=3时,- 3π 4+φ=k1π ,k1∈Z。因 为 φ ≤ π 2 ,所以φ=- π 4 ,所以函数f(x) =s