6.2.3向量的数乘运算　课件——2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.2.3 向量的数乘运算 学习任务 01 了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义（重点） 理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算（重点） 理解并掌握两向量共线的性质和判断方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题（难点） 02 04 03 理解实数相乘与向量数乘的区别（易混点） 复习回顾 ②向量加法的平行四边形法则： 同起点，和向量由起点指向对角线端点 适用于不共线的向量求和. 首尾相接，和向量由起点指向终点. ①向量加法的三角形法则： 适用于任意非零向量求和. 本质上一致，平行四边形法则中运用了相等向量的平移。 C b a+b a B A B b a A C a+b O 复习回顾 a O A B b . 向量减法的三角形法则 共起点，连终点，指向被减向量. 注意 a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点，这就是向量减法的几何意义 01 探索新知 探索新知 狗、猫和老鼠 老鼠由B处以6 m/s的速度向正东奔跑，狗由A处以6 m/s的速度向正西奔跑，猫由A处以5 m/s的速度向正东奔跑，问：老鼠和狗能否相遇？猫和老鼠能否相遇？可以用向量解决这个问题吗？ 探索新知 已知非零向量a，作出a+a+a和（－a）+（－a）+（－a）.它们的长度和方向分别是怎样的？ 探究 ？ 向量的加法 P O C A B Q M N 上述这种实数与向量的乘法运算称为向量的数乘. 3a的方向与a相同，长度是a的3倍 即 3a的方向与相反，长度是a的3倍 即 探索新知 定义:一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λ ，它的长度与方向规定如下： 长度： 方向：当λ > 0时， λ a的方向与a的方向相同； 当λ < 0时， λ a的方向与a的方向相反； 当λ ＝0时， ＝0 思考：你对零向量、相反向量有什么新的认识？ 探索新知 如果把非零向量a的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量b，向量b该如何表示？向量a ， b之间的关系怎样？ 思考 ？ 1.向量数乘结果仍然是向量，其长度、方向都与以及a有关 注意： 3.5 b＝3.5 a ， b 与a的方向相同， b的长度是a的长度的3.5倍 2.实数和向量可以相乘，但不能相加减， λ +a ， λ －a无意义 探索新知 思考：你对零向量、相反向量有什么新的认识？ 0可看成实数0与任意向量a的乘积，a的相反向量可看成－1与a的乘积 (2)几何角度（向量数乘的几何意义）：当>1时，表示向量a的有向线段在原方向（ λ >0 ）或反方向（ λ <0 ）上伸长为原来的倍；当1时，表示向量a的有向线段在原方向（ λ >0 ）或反方向（ λ <0 ）上缩短为原来的倍． 归纳总结： (1)代数角度：① λ是实数， a是向量，它们的积仍是向量；② ＝0的条件是 ＝0或＝0 ． 探索新知 数的乘法满足交换律、结合律和分配律，向量的数乘运算是否也满足上述运算律呢？ （1）根据数乘定义，求作向量和，并比较 （2）已知向量，求作向量和 ，并比较 a a 结论： a 结论： 探索新知 数的乘法满足交换律、结合律和分配律，向量的数乘运算是否也满足上述运算律呢？ 向量数乘的运算律： 设，是实数，那么有 (1)结合律：(a) = () a (2)分配律：①(+) a =a+a；② ＝a+ 特别地，我们有： (－) a =－(a)=(a) ；＝a－ 探索新知 定义:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 向量线性运算的结果仍是向量作λ ，它的长度与方向规定如下： 推广： 对于任意向量a ， b ，以及对于任意实数，是实数，恒有 ( b )= 探索新知 例5 计算（1）（－3）×4 a （2）3（ a ＋ b ）－2（ a － b ）－ a （3）（2 a ＋3 b － c ）－（3 a －2 b ＋ c ） 解：（1）原式＝（－3×4） a ＝－12 a （2）原式＝3 a ＋3 b －2 a ＋2 b － a ＝5 （3）原式＝2 a ＋3 b － c －3 a ＋2 b － c ＝－ a ＋5 b －2 c 探索新知 规律总结 (1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”及“公因式”都是指向量，实数看成向量的系数.向量也可以通过列方程来解，即把所求向量当成未知量，利用解代数方程的方法求解. (2)要清楚向量数乘与实数乘法的区别，前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数. 探索新知 探索新知 引入向量数乘运算后，你能发