6.2.4向量的数量积　课件——2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.2.4 向量的数量积 学习任务 01 平面向量的数量积（重点） 02 投影向量的概念（难点） 03 向量的数量积与实数的乘法的区别（易混点） 01 探索新知 探索新知 前面我们学习了向量的加、减、数乘运算，类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量能否相乘呢？如果能，那么向量的乘法该如何定义？ 在物理课中我们学习过功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功，其中是与的夹角. 探索新知 答案：这里的力F与位移s都是矢量，既有大小，又有方向，也就是我们数学中的向量，而功是一个标量，即我们数学中的数量，它由力和位移两个向量来确定，也就是说功这个数量，是力和位移这两个向量运算的结果．这种运算类似于“相乘”，又不同于“相乘”． 问题1 以上情境中的力、位移、功分别是数学中的什么量？这种求功的运算是一种什么样的运算？ 探索新知 问题2 以上情境中以上情境中，，其中的是向量与的夹角，那么任意两个向量的夹角是什么呢？ 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作，则（）叫做向量a与b的夹角． 探索新知 追问1 如图，向量c、d的夹角是否为？若不是，又是什么？ 答案：向量c、d的起点没有置于同一点，故夹角不是，平移向量d至向量c的起点，可知向量c、d夹角为． 探索新知 追问2 对于任意两个非零向量a、b，他们夹角的范围是什么呢？有哪些情况比较特殊？ 两向量夹角的范围是[0，π]： 当时，a与b同向；当时，a与b反向； 当时，a与b夹角为锐角；当时，a与b夹角为钝角； 当时，a与b夹角为直角，我们就说向量a与b垂直，记作a⊥b． 探索新知 当θ＝0时，a与b ； 同向 当θ＝π时，a与b ； 反向 . . θ θ 垂直：如果a与b的夹角是 ， 则称a与b垂直，记作 . a⊥b . 注意： 探索新知 问题3 有了向量夹角的定义之后，我们就能模仿功的定义，给出向量“数量积”的定义了，你能尝试描述一下吗？ 已知两个非零向量a与b，他们的夹角是，我们把数量叫做向量a与b的数量积（或内积），记作 ． 并规定：零向量与任一向量的数量积为0． 探索新知 (1) 中的“”不能省略，也不能用“×”来代替． (2)我们规定了0与任意向量的数量积为0，但是由=0，不能推出a或b一定是零向量.这是因为两个向量垂直时，其夹角为90°，此时cos 90°＝0，故也有=0.应注意0 ＝0，但0a＝0 注意 (1) 两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定． (2)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法， 与以前学过的数的乘法是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，决不可混淆. 重理解 (3)向量数量积的结果是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关，而向量的加减和实数与向量的积的结果仍是向量. 探索新知 两非零向量a与b数量积的符号由什么决定？ 在定义式中，因为，均为正值，所以的符号仅由的正负决定，而的正负又由的大小决定，所以我们可以得到如下的结论： 当＝0°时， cos ＝1， ； 当为锐角时， ； 当为直角时， ； 当为钝角时， ； 当＝180°时， cos ＝－1， 探索新知 探索新知 如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换： 过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线， 垂足分别为A1，B1，得到， 我们称上述变换为向量a向向量b ， 叫做向量a在向量b上的 . 投影 投影向量 探索新知 若在平面内任取一点O，作，此时向量a又如何向向量b作投影？投影向量又是谁？ 答案：与前面的过程类似，此时因为两向量共起点，故只需过点M作直线ON的垂线，记垂足为M1，得到的向量就是向量a在向量b上的投影向量． 探索新知 如图，设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为，那么与e，a，之间有怎样的关系？ 探究 ？ 答案：显然，与e共线，于是．下面我们尝试通过对分类来讨论出更具体的关系． 探索新知 当为锐角时，与e方向相同，，所以； 当为直角时，，所以； 当为钝角时，与e方向相反， ，所以； 探索新知 当时，，所以； 当时，，所以； 对于任意的，都有． 探索新知 从上面的探究我们看到，两个非零向量a与b相互平行或垂直时，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性．这时，他们的数量积又有怎样的特殊性呢？ 探