6.3.2二项式系数的性质课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

6.3.2 二项式系数的性质 第六章 计数原理 1 学习目标 会用“赋值法”求展开式系数的和.(难点) 1 2 能记住二项式系数的性质，并能解决相关问题.(重点) 探究 用计算工具计算(a＋b)n的展开式的二项式系数，填写如下表. n (a＋b)n的展开式的二项式系数 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 从表中可以发现，每一行中的系数具有对称性，除此以外还有什么规律呢?为了便于发现规律，上表还可以写成如图所示的形式. 观察上图，还能发现哪些规律？ (1)每行两端的数都是1； (2)系数呈对称分布；与首末两端“等距离”的两个系数相等； (3)同一行中，系数先增后减，两端的系数小，中间的系数大. (4)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. 探究 n=7 n=8 n=9 性质1. 对称性 性质2. 增减性与最大值 性质3. 各二项式系数的和 例题分析——赋值法在二项式系数中的应用 “赋值法”是解决二项展开式中项的系数的常用方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差． 技巧归纳1 （1）求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大． （2）求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得． 技巧归纳2 课堂小练 C D A A B AC 70 10 5 课堂小结： 1.二项式系数的性质． 2.赋值法求各项系数的和． 对于的展开式的二项式系数， 还可以从函数的角度分析它们. 可看成以r为自变量的函数， 其定义域是. 对于确定的n，还可以画出它的图象， 例如，当时，函数的图象是7个离散点，如图所示. （1）观察右图，你发现了什么规律? （2）分别画出时的图象，比较它们的异同， 发现了什么规律？ 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. 事实上，这一性质可直接由 得到. 直线将函数的图象分成对称的两部分， 它是图象的对称轴. 因为 ，即 ， 所以，当 ，即 时， 随 的增加而增大；由对称性知， 当 时， 随 的增加而减小. 当 是偶数时，中间的一项 取得最大值；当 是奇数时，中间的两 项 和 相等，且同时取得最大值. 已知 ， 令 ，得 . 这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于 . 例 求证：在 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的 二项式系数的和. 证明：在展开式 中， 令 ， ，则得 . 即 . 因此 ， 即在 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 1.已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则所有项的 二项式系数和为( ) A. B. C. D. 解析：由题意，的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等， 即，因此，故所有项的二项式系数和为，故选C. 2.在的展开式中含的项的系数等于( ) A.280 B.300 C.210 D.120 解析：在的展开式中含的项的系数为.故选D. 3.若的展开式中各二项式系数之和为256，则其展开式中有理项系数之和为( ) A.85 B.84 C.57 D.56 解析：由的展开式中各二项式系数之和为256，可得，解得，故其展开式的通项为，令，5，8，则其展开式中有理项系数之和为，故选A. 4.若的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是( ) A.240 B.-240 C.160 D.-160 解析：因为的展开式中所有二项式系数之和为64，所以， 解得，所以，其展开式的通项为，其中，， 令，解得，所以展开式中的常数项为. 故选A. 5.若的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式的常数项是( ) A.360 B.180 C.90 D.45 解析：因为的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中第6项为中间项，所以总共11项，故，的展开式的通项为，令，得，此时展开式的常数项为.故选B. 6.（多选）对于的展开式，下列结论正确的是( ) A.各项系数之和为0 B.二项式系数的最大值为 C.不存在常数项 D.x的系数为-28 解析：对于，令，可得各项系数之和为，故A正确； 对于B，二项式系数的最大值为，故B错误；对于C，的展开式的通项为，令，解得，因为r不是非负整数，所以不存在常数项，故C正确；对于D，的展开式的通项为，令，解得，则x的系数为，故D错误.故