专题11 数列的通项公式和前n项和（解密讲义）-【高频考点解密】2024年高考数学二轮复习高频考点追踪与预测（安徽专用）

专题11 数列的通项公式和前n项和（解密讲义） 【知识梳理】 【考点1】数列的通项公式 1.数列的通项公式 (1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. (2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 2.由递推公式求通项公式的常用方法 (1)已知a1且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an，即an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1. (2)已知a1且＝f(n)，可用“累乘法”求an，即an＝··…···a1. (3)已知a1且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{an＋k}． (4)形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解． 3.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝ 4.递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑an与an＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系，或者Sn与Sn＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系. 方法技巧： 1、等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便． 2、数列的通项公式或前n项和公式都可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题． 3、数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解． 【考点2】数列的前n项和 1.数列求和的几种常用方法 (1)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (2)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. (3)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解. (4)倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 2.在利用裂项相消法求和时应注意： (1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差； (2)要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 3.用错位相减法求和时，应注意 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意 4.Sn与an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化． ①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解； ②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．　 方法技巧： 1、在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式． 2、 (1)错位相减法适用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列； (2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后得到部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数． (3)为保证结果正确，可对得到的和取n＝1,2进行验证． 3、 (1)裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成an＝bn＋k－bn(k≥1，k∈N*)的形式，从而达到在求和时某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{an}的通项公式，使之符合裂项相消的条件． (2)常用的裂项公式 ①＝(－)； ②＝(－)； ③＝(－)． 考点 命题点 考题 数列的通项公式 ①等差、等比数列的通项公式及性质 ②求数列的通项公式 2023北京卷T14，2023北京卷T10，2023全国乙卷（理）T15，2023全国乙卷（理）T10，2023天津卷T6，2022浙江卷T10，2022新高考II卷T3，2022全国乙卷（文）T10，2022全国乙卷（理）T8 数列的前n项和 ①公式法及分组法求前n项和 ②裂项相消法 ③错位相减法 2023全国乙卷（文）T18，2023全国甲卷（理）T17，2023新课标I卷T20，2023新课标II卷T18，2022天津卷T18，