第十一章 解三角形（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高一数学单元速记·巧练（苏教版2019必修第二册）

第十一章　解三角形（知识归纳+题型突破） 1.了解余弦定理的推导过程． 2.掌握余弦定理的几种变形公式及其应用． 3.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法． 4.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题． 5.理解测量中的有关名词、术语的确切含义． 6.会利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离、角度等问题． 7.能够运用正、余弦定理解决三角形中的面积等综合问题． 1．余弦定理 文字语言 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 符号语言 a2＝b2＋c2－2bc cos A b2＝c2＋a2－2ca cos B c2＝a2＋b2－2ab cos C 对余弦定理的理解 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”． (3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系． 2．余弦定理的变形 cos A＝；cos B＝；cos C＝． 出现以下两种情况可以考虑用余弦定理解答． (1)已知一个三角形的两边及其夹角； (2)条件中出现了余弦定理的局部或变形，如a2＋b2，a＋b，ab，cos A等． 3．三角形的元素与解三角形 (1)三角形的元素 我们把三角形的三个角和三条边叫作三角形的元素． (2)解三角形 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形． 4．正弦定理 条件 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c 结论 ＝＝ 文字叙述 三角形的各边与它所对角的正弦的比相等 5．正弦定理的变形 若R为△ABC外接圆的半径，则 (1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C． (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝. (3)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c. (4)＝2R. 6．已知三角形的哪几个元素，可以用正弦定理解相应三角形？ ①已知三角形的任意两角和一边，求其他两边和另一角． ②已知三角形的任意两边和其中一边的对角，求另一边及另两角． 7．实际测量中的有关名称、术语 名称 定义 图示 基线 在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫作基线 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°) 南偏西60°(指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角) 方位角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角 8.解三角形应用题的基本步骤 (1)分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形). (2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在同一个三角形中，建立一个解三角形的数学模型． (3)求【解析】利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解． (4)检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解． 9．三角形的面积公式 (1)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别表示边a，b，c上的高). (2)S＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B． (3)S＝(a＋b＋c)·r(r为△ABC内切圆的半径). (4)三角形的面积公式S＝ab sin C与原来的面积公式S＝a·h(h为a边上的高)的关系为h＝b sin C，实质上b sin C就是△ABC中a边上的高h. 题型一　已知两边及一角解三角形 【例1】(1)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　) A．4 B．　 　 C． D．2 (2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　) A． B． C．2 D．3 思维升华 已知三角形的两边及一角解三角形的方法 (1)已知两边及其夹角解三角形，可以先利用余弦定理直接求第三边，再利用余弦定理的变形公式及三角形内角和定理求其余两角． (2)已知两边和其中一边的对角解三角形，可以利用余弦定理列出方程，运用方程的思想求出第三边，这样可直接判断取舍．　 巩固训练 1.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，c＝2，cos A＝，则b＝(　　) A．4 B．3 C．2或4 D．2或3 2.在△ABC中，已知A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求b，c. 题型二　已知三边(三边关系)解三角形 【例2】(1)在△ABC中，已知a＝3，b＝5，c＝，则最大角与最小角的和为(　　) A．90° B．120° C