第十一章 解三角形（压轴题专练）-2023-2024学年高一数学单元速记·巧练（苏教版2019必修第二册）

第十一章　解三角形（压轴题专练） 题型一　利用正、余弦定理解三角形 【例1】(2020·高考江苏卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝3，c＝，B＝45°. (1)求sin C的值； (2)在边BC上取一点D，使得cos ∠ADC＝－，求tan ∠DAC 的值． 思维升华 解三角形的一般方法 (1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b. (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角． (3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况． (4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C.　 巩固训练 1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　) A． B．　　　 C． D． 2．在△ABC中，已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝30°，B＝120°，b＝5，则c＝________． 3．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，b)与n＝(cos A，sin B)平行． (1)求A； (2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积． 题型二　判断三角形的形状 【例1】在△ABC中，若已知b2sin2C＋c2sin2B＝2bc cosB·cos C，试判断三角形的形状． 思维升华 判定三角形形状的两种途径 (1)通过正弦定理和余弦定理化边为角，如a＝2R sin A，a2＋b2－c2＝2ab cos C等，再利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断，此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin A＝sin B⇔A＝B，sin (A－B)＝0⇔A＝B，sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或A＋B＝等． (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A＝，cos A＝等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．　 巩固训练 1.在△ABC中，若lg sin A－lg cos B－lg sin C＝lg 2，则该三角形的形状是(　　) A．等腰三角形　　 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 题型三　正、余弦定理的实际应用 【例1】已知海岛A周围8 n mile内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A在北偏东75°，航行20 n mile后，见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？ 思维升华 正、余弦定理在实际应用中应注意的问题 (1)分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图． (2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等． (3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形． (4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累． (5)按照题目中已有的精确度计算，并根据题目要求的精确度确定答案并注明单位．　 巩固训练 1．高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水．如图所示，B，E，F为山脚两侧共线的三点，在山顶A处测得这三点的俯角分别为30°，60°，45°，计划沿直线BF开通穿山隧道，现已测得BC，DE，EF三段线段的长度分别为3，1，2. (1)求出线段AE的长度； (2)求出隧道CD的长度． 2.如图，A，C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10 n mile/h的速度，沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B处，然后以同样的速度，沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C岛． (1)求A，C两岛之间的直线距离； (2)求∠BAC的正弦值． 题型四　正、余弦定理与三角函数的综合应用 【例1】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos. (1)求角B的大小； (2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值． 思维升华 正、余弦定理与三角函数综合应用的求解策略 (1)首先要熟练使用正、余弦定理，其次要根据条件，合理选用三角函数公式，达到简化问题的目的． (2)利用正、余弦定理解三角形问题时，常与平面向量等知识结合给出问题的条件，这些知识的加入，一般只起“点缀”作用，难度较小，易于化简．　 巩固训练 1. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＋c2＝b2＋ac. (1)求角B的大小； (2)求cos A＋cos C的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（