专题01 二次根式 重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）-2023-2024学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题01 二次根式 重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 【题型目录】 题型一 求二次根式的值 题型二 根据二次根式有意义的条件求参 题型三 利用二次根式被开方数的非负性求值 题型四 根据二次根式是整数求字母的值 题型五 利用二次根式的性质化简 题型六 数轴与二次根式的化简问题 题型七 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式 题型八 复合二次根式的化简 【知识梳理】 知识点一.二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 知识点二.二次根式有无意义的条件： （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点三.二次根式的性质： （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式： （3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 知识点四.二次根式的化简： （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【经典例题一 求二次根式的值】 【例1】（2022下·浙江绍兴·八年级统考期末）当x＝1时，二次根式的值等于（    ） A．4 B．0 C． D．2 【变式训练】 1．（2020下·内蒙古·八年级校考期中）a是任意实数，下列各式中：①；②；③；④；⑤，一定是二次根式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2022下·湖北咸宁·八年级统考期末）代数式的最小值为 ． 3．（2022·河南·模拟预测）求代数式÷的值，其中x＝． 【经典例题二 根据二次根式有意义的条件求参】 【例2】（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）函数中，自变量x的取值范围为（    ）． A． B． C．且 D． 【变式训练】 1．（2023下·湖南株洲·九年级株洲二中校考自主招生）使函数有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（2023上·四川成都·八年级校考期末）已知，则 ． 3．（2023下·江苏苏州·八年级校考开学考试）（1）已知、为实数，且，求的平方根． （2）已知实数满足，求的值． 【经典例题三 利用二次根式被开方数的非负性求值】 【例3】（2023春·福建福州·八年级统考期中）已知，其中为整数，则的值为__________． 【变式训练】 1、（2023春·河北邢台·八年级校考期末）若，求的值． 2、（2023春·黑龙江绥化·八年级统考期中）若，则______. 3、（2023·全国·八年级假期作业）已知实数满足，求的值是多少？ 【经典例题四 根据二次根式是整数求字母的值】 【例4】（2023春·八年级单元测试）若是整数，则整数n的所有可能的值为_______． 【变式训练】 1、（2023春·广东惠州·八年级校考期中）已知：是整数，则满足条件的最小正整数为（　　） A．2 B．4 C．5 D．20 2、（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）已知是整数，则自然数所有可能的值的和为______． 3、（2023春·江苏·八年级专题练习）如果是一个正整数，则整数的最小值是（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．8 【经典例题五 利用二次根式的性质化简】 【例5】（2023下·浙江丽水·八年级期末）已知是的小数部分，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023上·河南洛阳·九年级统考期中）化简二次根式，得（    ） A． B． C． D． 2．（2024上·上海闵行·八年级统考期末）计算： ． 3．（2024上·北京昌平·八年级统考期末）阅读材料： 和为整数，； 和为整数，； 和为整数，； …… 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有， 并给出了证明：根据题意，得 ． 等式两边同时___________，得 ____________． 整理得 ． 请根据以上材料，解决以下问题： (1)请补全小明的证明过程. (2)若和为两个相邻整数，则____________. (3)若和为相差4的两个整数，求的值． 【经典例题六 数轴与二次根式的化简问题】 【例6】（2023上·吉林长春·八年级校联考期末）已知实数a在数轴上的对应