第2章　有理数——有理数运算　讲义　2023—2024学年苏科版数学七年级上册

数学 核心素养培养与个性发展研究 年 级 初一 日 期 时 间 管理师 辅导教师 常老师 课 时 教学内容 有理数的运算 【知识点梳理】 知识点一：有理数基本概念 1)负数: 用正负数表示相反意义的量（增加，减少；零上，零下；向前，向后…） 2)整数：正整数、零和负整数统称为整数。 分数：正分数和负分数统称为分数。 有理数：整数和分数统称为有理数。 （有理数分类：根据有理数定义、根据正负） 【注】0 既不是正数也不是负数，0 是整数，0 是自然数，0 是非负数，0 是非正数。0 不仅仅表示没有。 最小的正整数是 1，最大的负整数是-1，没有最大、最小的整数，最小的自然数是 0。 绝对值：（几何意义）在数轴上表示数 a 的点离开原点的距离，叫做数 a 的绝对值。 （代数意义）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。 知识点二：有理数的运算 1. 有理数加法法则 （1） ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 ③互为相反数的两个数相加得零。 ④一个数与 0 相加，仍得这个数。 （2） 有理数加法的运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 2.有理数的减法 减去一个数等于加上这个数的相反数。 字母表示为： a-b=a+(-b) 3.有理数的加减混合运算 现将式子写成代数和的形式，再按加法法则进行计算，适当的应用加法运算律。 4.有理数的乘法 （1）有理数的乘法法则 ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘都得零。 【注】ab>0  a,b 同号。 ab<0  a,b 异号。 ②几个不等于零的数相乘，积的正负号由负因数的个数决定，当负号的个数为奇数时，积为负；当负号的个数为偶数时，积为正。 ③ 几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。 （2） 乘法运算律 乘法交换律： ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+ac 5.有理数的除法 （1） 法则 ①除以一个数等于乘以这个数的倒数。【注】0 不能做除数。 ②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不等于的数，都得零。 （2） 乘除混合运算时，先变除为乘，再按照乘法计算 6.有理数的乘方 （1）定义：求几个相同因数积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂，a 叫做底数，n 叫做指数。 a·a·a····· ·a =an n 个 （2）有理数乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 0 的任何非 0 次幂都是零 【注】①单独的一个数字或字母，它的指数是 1，通常省略不写； ②当底数是分数或负数时，要加上括号。 ③理解（-a）2n =a2n （-a）2n-1=-a2n-1 （n=1,2,3.....) 特别的，当ａ＝１时，有（-1）2n =1 （-1）2 n-1 =1 （n=1,2,3.....) 记忆：22 =4, 23 =8, 24 =16, 29 = 512， 210 =1024 25 =32， 26 =64, 27 =128, 28 = 256, 7.有理数的混合运算 （1） 先算乘方，再算乘除，最后算加减。 （2） 同级运算，按照从左至右的顺序进行。 （3） 如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，然后算大括号里的。 【典例例题】 题型一：有理数的加法 例 1：下列说法正确的是 ①若两个数的和为正数，则这两个数都是正数。②两个有理数相加，和一定大于每一个加数。③两个有 理数的和可能为 0。④两个有理数的和可能等于其中一个加数。⑤若 a 与-2 互为相反数，则 a+(-2)=0。 例 2：如果|x|=2,|y|=3, 则 ①x,y 同号，x+y= ②x,y 异号，x+y= 例 3：绝对值不大于-4.3 的所有整数的和。 变式 1：用简便方法计算： （1）13+(-12)+17+(-18) (-18.75)+6.25+(-3.25)+18.75 （2） 如果 a,b 互为相反数，则 a+2a+3a+…+99a+100a+b+2b+…+99b+100b= 。 （3） （-1）+3+（-5）+7+…+95+（-97）+99=