专题11 证明不等式 二次求导，放缩法，数列求和(解答题三类题型+过关检测）-【常考压轴题】2023-2024学年高二数学上学期压轴题攻略（人教A版2019选必第二册）

专题11 导数压轴大题四：证明不等式（数学版） 函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的. 而高次函数或复杂一些的函数多数利用导数来确定其单调性，根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 1、 二次求导 利用导数解决不等式证明问题时，常常通过构造函数，把不等式转化为确定函数的单调性，利用单调性得函数值的大小，为此需要求导，利用导数确定单调性. 判断导函数与0的大小关系，当一阶导数不容易判断符号时，可通过二阶导数求得一阶导数的单调性来判断符号. 也有可能需要多次求导（当然需要多次构造函数）才能得出最终结论． 2、 放缩法 在导数证明不等式成立的过程中，我们有时会用一些恒成立的函数模型进行适当放缩，简化需要证明的不等式，方便后面的证明。 常见恒成立的函数模型有： ， 当时， 当时，，， 数列常见放缩模型： 当时，，； 3、 数列求和 利用函数求导确定单调性，适当的放缩法后，转化为可求和的数列，可求和的数列通常有： 裂项相消法，等比数列. 题型二 二次求导 1．已知函数． (1)当时，证明：只有一个零点． (2)若，求的取值范围． 2．已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)证明：． 3．已知函数. (1)不等式在上恒成立，求实数的最小值. (2)记函数，记在上的最小值为，证明：. 4．已知函数的导函数为，且曲线在点处的切线方程为. (1)证明：当时，； (2)设有两个极值点.，过点和的直线的斜率为k，证明：. 练习题： 1．已知函数. (1)当时，求的图象在点处的切线方程； (2)对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 2．函数． (1)求证：； (2)若方程恰有两个根，求证：． 3．如果是定义在区间D上的函数，且同时满足：①；②与的单调性相同，则称函数在区间D上是“链式函数”.已知函数，. （1）判断函数与在上是否是“链式函数”，并说明理由； （2）求证：当时，. 4．已知函数 (1)若函数在点处的切线斜率为0，求a的值． (2)当时．设函数，求证：与在上均单调递增； 题型二 放缩法 1．求证： 2．已知证明. 3．函数，曲线在点处的切线在轴上的截距为． （1）求； （2）讨论的单调性； （3）设，证明：． 4．已知函数． (1)若在处的切线l与直线平行，求切线l的方程； (2)证明：当时，对任意的恒成立． 练习题： 1．求证：． 2．已知函数，其中为自然对数的底数，函数. （1）求的最大值； （2）求证：； （3）求证：. 3．已知函数，． (1)若函数无极值，求的取值范围； (2)当，证明． 4． 已知函数. （1）当时，求的最小值； （2）若对任意恒有不等式成立，证明：. 题型三 用导数证明含数列之和不等式 1．已知函数(其中为自然对数的底数). (1)当时，试求函数在上的最值； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，证明：. 2．已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若，求证：. 3．证明：． 4．已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若，求的值； (3)求证：. 练习题： 1．已知函数，其中为实常数． (1)若函数定义域内恒成立，求的取值范围； (2)证明：当时，； (3)求证：． 2．已知为自然对数的底数). (1)求证恒成立； (2)设是正整数，对任意正整数，，求的最小值. 3．已知函数． (1)证明：当时，；当时，． (2)正项数列满足：，，证明： （i）数列递减； （ii）． 4．设函数． (1)当时，证明：； (2)证明：． 1. 已知函数在点处的切线方程为， (1)求的值域； (2)若，且，，证明：①；②. 2. 若证明： 3. 已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，证明: . 4. 已知函数，其中．求证： (1)，且； (2)，，. 5. 已知函数且. （1）求函数的单调区间； （2）证明：. 6. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：. 7. 已经， （1）求证： (其中，)； （2），求证：. 8. 已知函数，其中． (1)当时，证明：； (2)若对任意，都有，求k的取值范围． 9. 设函数． (1)当时，判断函数的单调性； (2)若对任意的正整数都有，求的最小值． 10. 设数列的通项，其前项的和为，证明：． 11. 已知函数． (1