专题10 双变量问题比值代换、韦达换元、放缩法、三变量（解答题四类题型+过关检测）-【常考压轴题】2023-2024学年高二数学上学期压轴题攻略（人教A版2019选必第二册）

专题10 导数压轴大题三：双变量问题（学生版） 解决双变量问题主要在于消元，消元，寻找双变量满足的关系式，将含双变量的不等式转化为含单变量的不等式，根据求解方法的不同我们分为四个类型进行分析： 1、 去参基础变形，比值代换构造函数 将双变量比值代换为，比值代换时，要注意一些常见的变换结构，如以下的结构变换方法： （1）引元：如设，消元，回代入已知等式解方程（组），进而消元，将所求证不等式转化为等形式，再构造函数可得； （2）对数相加减：，； （3）齐次分式：等； （4）组合型：对数，分式，整式等形式加以组合，如等等. 2、 巧用韦达定理消元 解到双变量满足一元二次方程不同两解的情况，用韦达定理可以找出双变量的确定关系，已知其中一个变元在题设给定的范围内任意变动，求另一外变元的取值范围问题，可以构造关于（或）的一元函数， 3、 存在量词与全称量词—用放缩法化简 通过巧妙的放缩变换，将给定的不等式转化为更易证明的形式，常见的放缩有加减放缩，乘除，取对数，去倒数，切线放缩等. 4、 三个变量或多变量题型 也用前面一至三的方法巧妙做转化换为一元. 前面几种类型，在换元或放缩之后，构造函数，求导判断函数的单调性，求其最值；再回归双变量的不等式的证明，把所求的最值应用到双变量不等式，即可证得结果. 题型一 去参基础变形，换元构造函数 1．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若存在不相等的实数，使得，证明：． 2．已知函数，其中. (1)当时，求的极值； (2)当，时，证明：. 3．已知函数. (1)当时，讨论函数的单调性； (2)若函数有两个零点，，且，求证：(其中是自然对数的底数). 4．已知函数. (1)当时，存在，使得，求M的最大值； (2)已知m，n是的两个零点，记为的导函数，若，且，证明：. 练习题： 1．已知函数. (1)当时，试比较与的大小； (2)若斜率为的直线与的图象交于不同两点，，线段的中点的横坐标为，证明：. 2．已知函数，其中． (1)当时，求证：在上单调递减； (2)若有两个不相等的实数根． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：． 3．关于函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若在处的切线垂直于直线，对任意两个正实数，，且，有，求证：. 4．已知函数． (1)设函数，讨论在区间上的单调性； (2)若存在两个极值点，（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值），且，证明：． 题型二 巧用韦达定理消元 1．已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)设函数，当有两个极值点时，总有成立，求实数的值． 2．已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若有两个极值点，分别为和，求的最小值. 3．已知函数. (1)试判断函数的单调性； (2)已知函数，若有且只有两个极值点，且，证明：. 4．已知函数，． (1)若满足，证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线； (2)若，且，证明：． 练习题： 1．设函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数有两个极值点，且，求的最小值. 2．已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数m的最大值. 3．已知函数（a为常数）． (1)若函数是增函数，求a的取值范围； (2)设函数的两个极值点分别为，（），求的范围． 4．已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若有两个极值点，且，从下面两个结论中选一个证明． ①； ②． 题型三 存在量词与全称量词—用放缩法化简 例1．已知函数. (1)当时，，求实数的取值范围; (2)若，使得，求证：． 2．已知函数，函数． (1)求的单调区间； (2)若，使得成立，求的取值范围． 3．已知函数，当时，，，若，，使成立，求实数m的取值范围． 4．已知函数，其中参数． (1)求函数的单调区间； (2)设函数，存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围． 练习题： 1．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)当时，若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围. 2．已知函数，，，分别为，的导函数，且对任意的，存在，使． (1)求实数a的取值范围； (2)证明：，有． 题型四 三个变量 1．设，，，函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若时，函数有三个零点，，，其中，试比较与的大小关系，并说明理由． 2．已知函数. (1)若，求函数的极值点； (2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围； (3)若函数有三个不同的极值点、、，且，求实数a的取值范围. 3．已知函数. (1)讨论极值点的个数； (2)若函数恰有2个极值点，3个零点，，（），探究：是否存在实数，使得. 4．已知函数f（x）＝2lnx﹣2mx+x2（m＞0）． （1）讨论函数f（x）的单调性； （2）当时，若函数f（x）的导函数