2022年江苏省 南京市 鼓楼区南京师范大学附属中学特长生选拔招生数学试卷

2022年江苏省南京师大附中特长生选拔招生数学试卷 一、解答题 1．因式分解：x3﹣2x2﹣5x+6． 2．已知，求（4x3﹣2025x﹣2022）3． 3．解方程组． 4．如图△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝40°，则∠EDC＝　 　． 5．△ABC中，，，∠BAC＝60°，AD为∠BAC的平分线，则AD＝　 　． 6．方程的正整数解（x，y）有 　 　组． 7．如图，B，C的坐标分别为（﹣5，0）和（5，0），AB﹣AC＝，⊙M为△ABC的内切圆，则M的横坐标为 　 　． 8．在直角三角形中，三边长均为两位正整数，其中一条直角边长的十位与个位交换位置后，数值等于斜边长．求斜边的长． 9．已知．（其中x＞1）． （1），求y与t的函数关系式； （2）求y的最大值． 10．已知，b为a的小数部分的相反数，求a3+b3+18ab． 11．求方程x2+9xy+14y2+2x+9y﹣10＝0的整数解（x，y）． 2022年江苏省南京师大附中特长生选拔招生数学试卷 参考答案与试题解析 一、解答题 1．因式分解：x3﹣2x2﹣5x+6． 【分析】首先补项，进而利用十字相乘法以及提取公因式法分解因式得出即可． 【解答】解：x3﹣2x2﹣5x+6 ＝x3﹣3x2+（x2﹣5x+6） ＝x2（x﹣3）+（x﹣3）（x﹣2） ＝（x﹣3）（x2+x﹣2） ＝（x﹣3）（x+2）（x﹣1）． 【点评】此题主要考查了分组分解法因式分解，正确分组得出是解题关键． 2．已知，求（4x3﹣2025x﹣2022）3． 【分析】根据得1﹣2x＝，则（1﹣2x）2＝1﹣4x+4x2＝2022，4x2﹣4x＝2021，将原式化为[（4x3﹣4x2）+（4x2﹣4x）﹣2021x﹣2022]3，再整体代入即可求解． 【解答】解：∵， ∴＝， ∴（1﹣2x）2＝1﹣4x+4x2＝2022， ∴4x2﹣4x＝2021， ∴原式＝[（4x3﹣4x2）+（4x2﹣4x）﹣2021x﹣2022]3 ＝（2021x+2021﹣2021x﹣2022）3 ＝（﹣1）3 ＝﹣1． 【点评】本题主要考查二次根式的化简，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解题关键． 3．解方程组． 【分析】计算②+3×①，利用和的立方公式先求出x+y的值，再代入①得一元二次方程并求解，最后利用代入法求出另一个未知数的值.. 【解答】解：， ②+3×①，得x3+3x2y+3xy2+y3＝﹣19+18． ∴（x+y）3＝﹣1． ∴x+y＝﹣1． 由x+y＝﹣1得x＝﹣1﹣y③． 把③代入①，得﹣（﹣1﹣y）×y＝6． ∴y2+y﹣6＝0． 解这个方程得y1＝﹣3，y2＝2． 把y1＝﹣3，y2＝2代入③，得x1＝2，x2＝﹣3． ∴原方程组的解为，． 【点评】本题考查了高次方程，掌握和的立方公式、一元二次方程的解法是解决本题的关键 4．如图△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝40°，则∠EDC＝　20°　． 【分析】可以设∠EDC＝x，∠B＝∠C＝y，根据∠ADE＝∠AED＝x+y，∠ADC＝∠B+∠BAD即可列出方程，从而求解． 【解答】解：设∠EDC＝x，∠B＝∠C＝y， ∠AED＝∠EDC+∠C＝x+y， 又因为AD＝AE， 所以∠ADE＝∠AED＝x+y， 则∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2x+y， 又因为∠ADC＝∠B+∠BAD， 所以 2x+y＝y+40， 解得x＝20， 所以∠EDC的度数是20°． 故答案为20°． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边对等角．正确确定相等关系列出方程是解题的关键． 5．△ABC中，，，∠BAC＝60°，AD为∠BAC的平分线，则AD＝　　． 【分析】过D作DE⊥AB于点E，过C作CF⊥AD于点F，CG⊥AB于点G，由含30°角的直角三角形的性质得DE＝AD，CF＝AC＝，再由锐角三角函数定义得CG＝1，然后由S△ABD+S△ACD＝S△ABC得出AB•DE+AD•CF＝AB•CG，即可解决问题． 【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于点E，过C作CF⊥AD于点F，CG⊥AB于点G， 则∠DEA＝∠CFA＝∠CGA＝90°， ∵∠BAC＝60°，AD为∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD＝30°， ∴DE＝AD，CF＝AC＝×＝， 在Rt△ACG中，sin∠GAC＝＝sin60°＝， ∴CG＝AC＝×＝1， ∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC， ∴AB•DE+AD•CF＝AB•CG， ∴AB•DE+AD•CF＝AB•CG， 即×AD+AD＝×1， 解得：AD＝， 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用、含30°角的直角三角形的性质、锐角