10.5.角平分线（2） 导学案-2023-2024学年鲁教版（五四制）七年级数学下册

10.5.角平分线（2）导学案 学习目标 1．证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论. 2．角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用. 学习策略 1.三角形的三条角平分线的交点的性质应用。 2.角平分线性质和判定综合应用方法。 学习过程 一.复习回顾： 1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，若CD=m，则点D到AB 的距离是（　　） A． 1m B．5m C．2m D．3m 2．在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（　　） A．3.8cm B．7.6cm C．11.4cm D．11.2cm 二.新课学习： 探究一：作三角形的三个内角的角平分线 ( A B C )1你发现三条角平分线位置有什么关系？你能证明证明这个结论吗？ 已知： 求证： 证明： （2）.问题：在上面的证明过程中除了证明三角形的三条角平分线相交于一点外，还发现这个点到三边的距离关系怎样？ 归纳：定理: 证明此定理. 已知：（自己动手作出图形） 求证： 证明： 探究二： ( B E A D C )如图，在△ABC中 ，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， 垂足为E. （1）已知CD=cm，求AB的长； （2）求证：AB=AC+CD。 ( C O A B P D ) 练习 已知：如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB 垂足分别为C、D， 求证：（1）OC=OD； （2）OP是CD的垂直平分线 三.尝试应用： ( A B C O M N )如图：CO,BO分别平分∠ACN和∠ABC,求证：点O在∠MAC的角平分线上。 四.自主总结： 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。 五.达标测试 1. 如图所示，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥OB，如果PC=6，那么PD等于（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2. 如图所示，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（　　） A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP 3. 有公路l1同侧、l2异侧的两个村庄A，B，如图所示，高速公路管理处要建一处服务区，按照设计要求，服务区到两个村庄A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，符合条件的服务区C有（　　）处． A．4 B．3 C．2 D．1 4. 如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB．垂足分别为点D、E、F，且AB=10，BC=8，则点O到三边AB、AC和BC的距离分别是（ ） A.2，2，2 B.3，3，3 C.4，4，4 D.2，3，5 5. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DC=2，则D到AB边的距离是________． 6. 如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于D．已知AC=32，且AD：DC=5：3，则点D到AB的距离为_____． 7. 如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3． （1）求DE的长；（2）求△ADB的面积． 8. 如图所示，AP、CP分别是△ABC外角∠MAC、∠NCA的平分线，它们相交于P点，PD⊥BM于点D，PF⊥BN于点F．求证：BP是∠ABC的平分线． 9. 如图所示，在△ABC中，AD是高，EG垂直平分BC，交AC于点E，BE交AD于点F．求证：点E在AF的垂直平分线上． 参考答案 1.B 2. D 3.C 4.A 5.2 6．12 7.解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∵CD=3，∴DE=3； （2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB= = =10， ∴△ADB的面积为S△ADB= AB•DE= ×10×3=15． 8．证明：过点P作PE⊥AC，