10.5 角平分线 课件2024-2025学年鲁教版(五四制)数学七年级下册

第十章 三角形的有关证明 10.5 角平分线 第1课时 角平分线（1） 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一. A C B P M N 如图, ∵ AC=BC, MN⊥AB, P是MN上任意一点(已知), ∴ PA=PB (线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等). 10.5 角平分线 第1课时 角平分线（1） 情 境 导 入 逆定理: 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 几何语言描述： 如图, ∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线上 (到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上). 这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一. A B P 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 那么结合我们前面学习的有关线段垂直平分线的定理及证明方法，你还记得角平分线上的点有什么性质吗? 10.5 角平分线 第1课时 角平分线（1） 新 课 探 究 1.能够证明角平分线的性质定理及其逆定理； 2.进一步发展自己的推理证明意识和能力，培养将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力. 新课探究 情境导入 课堂小结 5 你能利用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点的性质吗? 你还记得角平分线上的点有什么性质吗? 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 你能证明这一结论吗? 结合我们前面学习的定理的证明方法，你能写出这个性质的证明过程吗？ 新课探究 情境导入 课堂小结 已知: 如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D,E. 求证: PD=PE. 分析: 要证明PD=PE,只要证明△OPD≌△OPE， 而△OPD≌△OPE的条件由已知易知它满足公理AAS. 故结论可证. C B 1 A 2 P D E O 新课探究 情境导入 课堂小结 7 证明： ∵ OC是∠AOB的平分线， ∴ ∠1= ∠2. ∵ PD⊥OA,PE⊥OB, ∴ ∠PDO= ∠PEO. ∵OP=OP, ∴ △OPD≌△OPE (AAS). ∴ PD=PE. 已知: 如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D,E. 求证: PD=PE. C B 1 A 2 P D E O 新课探究 情境导入 课堂小结 几何语言表示： 定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一. 如图, ∵ OC是∠AOB的平分线, 点P是OC上, PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别为点D, E (已知)， ∴ PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). C B 1 A 2 P D E O 新课探究 情境导入 课堂小结 思考分析 你能写出“定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”的逆命题吗? 逆命题 在一个角的内部,并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 它是真命题吗? 如果是，请你证明它. 新课探究 情境导入 课堂小结 已知: 如图, PD=PE, PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别为点D,E. 求证: 点P在∠AOB的平分线上. 分析: 要证明点P在∠AOB的平分线上, 可以先作出过点P的射线OC, 然后证明∠POD=∠POE. B A C D E O P 新课探究 情境导入 课堂小结 证明：∵ PD⊥OA ，PE⊥OB， ∴ △POD和△POE都是直角三角形. ∵ PD=PE,OP=OP, ∴ Rt△POD≌Rt△POE(HL). ∴ ∠POD= ∠POE . ∴ OC是∠AOB的平分线. ∴ 点P在∠AOB的平分线上. 已知: 如图, PD=PE, PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别为点D,E. 求证: 点P在∠AOB的平分线上. B A C D E O P 新课探究 情境导入 课堂小结 逆定理：在一个角的内部, 并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 如图, ∵ PD=PE, PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别为点D, E(已知), ∴点P在∠AOB的平分线上 (在一个角的内部,并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上). 这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一. C B 1 A 2 P D E O 新课探究 情境导入 课堂小结 例1 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且DE=DF，求DE的长. B F E D C A 解： ∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，垂足分别为点E，F，且DE=DF， ∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）. ∵ ∠BAC=60°， ∴ ∠BAD=30°. 在Rt △ADE中， ∠AED=90°，AD=10, ∴DE= AD=5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 新课探究 情境导入 课堂小结 1. 如图,求作一点P, 使PC=PD, 并且点P到∠AOB的两边的距离相等. C● D● A B O 新课探究 情境导入 课堂小结 2. 已知: 如图, 在△ABC中, AD是它的角平分线,且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC, 垂足分别为点E,F. 求证: EB=FC. B A E D C F 证明: ∵ AD是△ABC的角平分线， 且DE⊥AB,DF⊥AC， ∴ DE=DF. ∵BD=CD, ∴Rt△BDE≌Rt△CDF (HL). ∴ EB=FC. 新课探究 情境导入 课堂小结 1.角平分线的性质定理 定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一. 如图, ∵ OC是∠AOB的平分线, P是OC上任意一点, PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别为点D, E (已知)， ∴ PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). C B 1 A 2 P D E O 10.5 角平分线 第1课时 角平分线（1） 课 堂 小 结 2.角平分线的判定定理 定理：在一个角的内部, 并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 如图,∵ PD=PE, PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别为点D, E(已知), ∴点P在∠AOB的平分线上 (在一个角的内部,并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上). 这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一. C B 1 A 2 P D E O 情境导入 课堂小结 新课探究 10.5 角平分线 第2课时 角平分线（2） 1.角平分线的性质定理 定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一. 如图, ∵ OC是∠AOB的平分线, P是OC上任意一点, PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别为点D, E (已知)， ∴ PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). C B 1 A 2 P D E O 10.5 角平分线 第2课时 角平分线（2） 情 境 导 入 20 2.角平分线的判定定理 定理：在一个角的内部, 并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 如图,∵ PD=PE, PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别为点D, E(已知), ∴点P在∠AOB的平分线上 (在一个角的内部,并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上). 这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一. C B 1 A 2 P D E O 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 1.能够证明三角形的三条角平分线交于一点，且这一点到三条边的距离相等； 2.能灵活运用角平分线的性质定理和判定定理. 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 22 剪一个三角形纸片通过折叠找出每个角的平分线. 观察这三条角平分线, 你发现了什么? 结论: 三角形三个角的平分线相交于一点. 你能证明这个命题吗? 10.5 角平分线 第2课时 角平分线（2） 新 课 探 究 利用尺规作出三角形三个角的角平分线. 观察这三条角平分线, 你发现了什么? 结论: 三角形三个角的角平分线相交于一点. 你能证明这个命题吗? 新课探究 情境导入 课堂小结 思考分析 命题: 三角形三个角的平分线相交于一点. 基本思路: 我们知道, 两条直线相交只有一个交点. 要想证明三条直线相交于一点, 只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理. 如何证三条直线交于一点？ 新课探究 情境导入 课堂小结 如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,过点P分别作BC,AC, AB的垂线,垂足分别为点E,F,D. ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上， ∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 同理, PE=PF. ∴点P在∠BAC的平分线上 (在一个角的内部,并且到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上)，并且PD=PE=PF. ∴△ABC的三条角平分线相交于一点P，并且点P到三条边的距离相等. A B C P M N D E F 新课探究 情境导入 课堂小结 26 定理: 三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等. 如图, 在△ABC中, ∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分线，且 PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC， 这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一，这个交点叫作三角形的内心. ∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF (三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等). D E F A B C P M N H 新课探究 情境导入 课堂小结 例3 如图, 在△ABC中, AC=BC,∠C=90°, AD是△ABC的角平线, DE⊥AB, 垂足为点E. (2)求证:AB=AC+CD. E D A B C (1)已知CD= , 求AC的长; 新课探究 情境导入 课堂小结 E D A B C 例3 如图, 在△ABC中, AC=BC,∠C=90°, AD是△ABC的角平线, DE⊥AB, 垂足为点E. (1)已知CD= , 求AC的长; （1）解：∵ AD是△ABC的角平线, ∴DE=CD= . ∵AC=BC,∴ ∠B=∠BAC(等边对等角). ∵ ∠C=90°∴ ∠B= 45°. ∴ ∠BDE= 90°- 45°= 45°.∴BE=DE. 在等腰直角三角形BDE中, 新课探究 情境导入 课堂小结 E D A B C （2）证明：由（1）的求解过程可知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL), ∴ AC=AE. ∵ BE=DE=CD, ∴ AB=AE+BE=AC+CD. 例3 如图, 在△ABC中,已知 AC=BC,∠C=90°, AD是△ABC的角平线, DE⊥AB, 垂足为点E. (2)求证:AB=AC+CD. 新课探究 情境导入 课堂小结 1. 如图,直线,,表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？ 满足条件共4个 l 3 l 2 1 l C B A 新课探究 情境导入 课堂小结 2. 已知: 如图, ∠C=90°,∠B=30 °,AD是Rt△ABC的角平分线. 求证: BD=2CD. A B C D 证明： ∵ ∠C=90°， ∠B= 30°, ∴ ∠BAC= 60°. ∵ AD是△ABC的角平分线, ∴ ∠BAD= ∠DAC= 30°, ∴AD=BD. ∴ Rt△ACD中，AD=2CD. ∴ BD=2CD. 新课探究 情境导入 课堂小结 3. 已知: 如图, △ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分线相交于点F. 求证: 点F在∠DAE的平分线上. A B C F D E 证明： ∵ BF是∠CBD的平分线， ∴ F到BC,AD的距离相等. ∵ CF是∠BCE的平分线, ∴ F到BC,AE的距离相等. ∴ F到AD,AE的距离相等. ∴点F在∠DAE的平分线上. 新课探究 情境导入 课堂小结 证明：(1) ∵P是∠AOB平分线上的一个点， PC⊥OA, PD⊥OB， ∴PC=PD. 在 Rt△POC和 Rt△POD，OP=OP,PC=PD, ∴ Rt△POC ≌ Rt△POD （HL） . ∴OC=OD. 4. 已知: 如图, P是∠AOB平分线上的一个点，并且PC⊥OA, PD⊥OB,垂足分别是点C, D. 求证: (1)OC=OD; B A P D C O 新课探究 情境导入 课堂小结 4. 已知: 如图, P是∠AOB平分线上的一个点，并且PC⊥OA, PD⊥OB,垂足分别是点C, D. 求证: (2)OP是CD的垂直平分线. B A P D C O 证明： (2) 由PC=PD，得P在CD的垂直平分线上. 由OC=OD,得O在CD的垂直平分线上. ∴OP是CD的垂直平分线. 新课探究 情境导入 课堂小结 比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理 三边的垂直平分线 三条角平分线 三角形 锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内一点 钝角三角形 交于三角形外一点 直角三角形 交于斜边的中点 交点性质 到三角形三个顶点的距离相等 到三角形三边的距离相等 10.5 角平分线 第2课时 角平分线（2） 课 堂 小 结 $$