新课第05讲：勾股定理的逆定理-2023-2024学年八年级数学【赢在寒假】同步精讲精练系列（人教版）

新课第05讲：勾股定理的逆定理 【考点梳理】 考点一：判断三边是否构成直角三角形 考点三：在网格中判断直角三角形 考点三：利用勾股定理的逆定理求解 考点四：勾股定理的逆定理的实际应用 考点五：勾股定理的逆定理的拓展问题 【知识梳理】 考点一：互逆命题和互逆定理 ①如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一 个叫做它的逆命题. ②如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，则称这个定理为逆定理. ③一个命题一定有逆命题，一个定理不一定有逆定理. 考点二：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a,b,c，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 几何语言：如图,△ABC中，a2+b2=c2，△ABC为直角三角形，且∠C=90°。 考点三：勾股定理与勾股定理的逆定理的联系与区别 联系：(1)两者都与三角形的三边有关，且都包合等式a2+b2=c2 (2)两者都与直角三角形有关; (3)两者互为逆定理。 区别：勾股定理是以“一个直角三角形”为条件，进而得到这个直角三角形三边的数量关系，a2+b2=c2；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”的数量关系为条件，进而得到这个三角形是直角三角形。两者的条件和结论相反，前者是直角三角形的性质，而后者是直角三角形的判定。 考点四：勾股定理的逆定理的应用 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长,且满两条较小边的 平方和等于最长边的平方，才可判断此三角形为直角三角形，最长边所对的角为直角。具体方法步骤如下： (1)先确定最长边，算出最长边的平方; (2)计算另两边的平方和; (3)比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等则此三角形为直角三角形。 【题型归纳】 题型一：判断三边是否构成直角三角形 1．（2024上·陕西渭南·八年级统考期末）下列各组数分别作为一个三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024上·浙江杭州·八年级统考期末）三边长为、、，则下列条件能判断是直角三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（2024上·河北张家口·八年级统考期末）学了“勾股定理”后，甲、乙两位同学的观点如下： 甲：如果是直角三角形，那么一定成立； 乙：在中，如果，那么不是直角三角形． 对于两人的观点，下列说法正确的是（    ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．两人都错 D．两人都对 题型三：在网格中判断直角三角形 4．（2023下·山东临沂·八年级统考期中）如图，正方形是由9个边长为1的小正方形组成的，点，均在格点（每个小正方形的顶点都是格点）上，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 5．（2023下·北京西城·八年级校考期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点A，B，C都在格点上，是边上的中线，那么的长为（    ）    A．2.5 B．3 C． D． 6．（2023下·湖北武汉·八年级统考期中）在如图所示的正方形网格中，和的顶点都在网格线的交点上，则与的和为（    ） A．30° B．40° C．45° D．60° 题型三：利用勾股定理的逆定理求解 7．（2023下·湖北武汉·八年级湖北省水果湖第二中学校考期中）如图，在四边形中， ，且，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 8．（2023上·福建三明·八年级校考期中）如图，在中，，，，点P为直线上一点，连接，则线段的最小值是（    ）      A．4 B． C． D． 9．（2023下·山东青岛·八年级校考期中）如图，点P是等边内一点，将线段绕点沿顺时针方向旋转得到线段，连接，，若，，，则下列结论正确的有（　　）个 ①为等边三角形；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 题型四：勾股定理的逆定理的实际应用 10．（2023下·辽宁鞍山·八年级统考期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是（    ）    A． B． C． D． 11．（2023下·湖南益阳·八年级统考期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国南宋时期长度单位，则该沙田的面积为（    ） A．平方里 B．平方里 C．平方里 D．平方里 12．（2022下·河北衡水·八年级校联考期中）如图，在中，，，