新课第04讲：勾股定理-2023-2024学年八年级数学【赢在寒假】同步精讲精练系列（人教版）

新课第04讲：勾股定理 【考点梳理】 考点一：用勾股定理解三角形 考点二：已知两点坐标求距离 考点三：勾股数问题 考点四：以直角三角形三边为边长的图形面积 考点五：勾股定理和网格问题 考点六：勾股定理和折叠问题 考点七：利用勾股定理求两条线段的平方和（差）考点八：勾股定理构造图形解决问题 考点九：以炫图为背景的计算题 考点十;勾股定理的证明 【知识梳理】 知识一：勾股定理 　　直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 　技巧归纳： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在中，，则，，） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 知识二：勾股定理的证明 一般是通过剪拼，借助面积进行证明。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不变。 图1是由4个全等三角形拼成的,得到一个以a+b为边长的大正方形和以直角三角形斜边c为边长的小正方形。则大正方形的面积可表示为(a+b)2，又可表示为ab·4+c2,所以(a+b)2=ab·4+c2，整理得a2+b2=c2 在图2的另一种拼法中，以c为边长的正方形的面积可表示成四个全等的直角三角形与边长为(b-a)的正方形的面积的和,所以ab·4+(b-a)2=c2，整理得a2+b2=c2. 【题型归纳】 题型一：用勾股定理解三角形 1．（2024上·福建泉州·八年级统考期末）如图，中，，是的平分线，交于点，若，，则的长为（    ） A． B．8 C．10 D．12 2．（2024上·江西鹰潭·八年级统考期末）如图，在中，D是上一点，已知，，，，的长为（    ） A．14 B．13 C．12 D．9 3．（2024上·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，与均为直角三角形，且，，，点E是BD的中点，则AE的长为（    ） A． B． C．2 D．3 题型二：已知两点坐标求距离 4．（2023下·广东江门·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A．3 B．4 C．5 D． 5．（2023下·福建厦门·八年级厦门市华侨中学校考期末）在平面直角坐标系中，若点，则线段的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．（2023下·山西大同·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的横坐标为（    ）    A． B． C． D． 题型三：勾股数问题 7．（2024上·辽宁沈阳·八年级统考期末）下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（    ） A．2，4，6 B．1，2，3 C．8，15，17 D．0.3，0.4，0.5 8．（2023上·宁夏银川·八年级银川九中校考期中）下列各组数是勾股数的是（    ） A．6，10，7 B．8，15，17 C．0.3，0.4，0.5 D．，， 9．（2023上·江苏宿迁·八年级统考期中）下列各组数中，哪一组是勾股数（    ） A．1，2，2 B．，， C．5，12，13 D．7，12，15 题型四：以直角三角形三边为边长的图形面积 10．（2024上·北京通州·八年级统考期末）如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，如果正方形和正方形的面积分别为和，那么正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 11．（2024上·甘肃白银·八年级统考期末）如图，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形，，的面积依次为，，，则正方形的面积为（    ）    A． B． C． D． 12．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，中，，分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、．若已知，则的值为（    ） A．18 B．24 C．25 D．36 题型五：勾股定理和网格问题 13．（2023上·陕西西安·八年级统考期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点，，均在格点上．若于点，则线段的长为（    ） A． B．2 C．1 D．2 14．（2023上·广东深圳·八年级统考期中）如图，由六个边长为1的小正方形构成一个大长方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是（    ）    A． B． C． D． 15．（2023上·四川达州·八年级校考期末）如图，在3 ×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（    ）    A． B． C． D． 题型六：勾股定理和折叠问题 16．（2024上·河北保定·八年级统考期末）如图，正方形中，，将沿对折至，延长交于点，刚