专题5.4 利用导数研究恒成立与存在性问题（3类必考点）-2023-2024学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题5.4 利用导数研究恒成立与存在性问题 【考点1：恒成立问题】 1 【考点2：存在性问题】 4 【考点3：恒成立与存在性综合问题】 7 【考点1：恒成立问题】 【知识点：恒成立问题】 (1)f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立⇔I是f(x)>g(x)解集的子集⇔[f(x)－g(x)]min>0(x∈I)． (2)对∀x1，x2∈D使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)min. [方法技巧] 不等式恒成立问题的求解策略 (1)已知不等式f(x，λ)≥0(λ为实参数)对任意的x∈D恒成立，求参数λ的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法，其一般步骤如下： (2)如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(a>0，Δ<0或a<0，Δ<0)求解．　　 1．（2024·新疆喀什·高二统考）已知函数，若在定义域上恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·高三强基计划）设函数，若对任意，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖北武汉·武汉市第六中学校联考二模）已知对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2024上·广东深圳·高三深圳外国语学校校联考期末）若不等式对任意恒成立，则的取值范围是 . 5．（2024·全国·高三专题练习）已知，求证：恒成立. 6．（2024·全国·高三专题练习）已知，实数使得对恒成立，求实数的最大值． 7．（2024·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校考阶段练习）已知函数 . (1)若 恒成立, 求的最大值; (2)若 恒成立, 求的最小值. 8．（2024·山东淄博·高二校考阶段练习）（1）已知对于恒成立，求实数的取值范围； （2）已知函数，若不等式在R上恒成立，试求a的取值范围. 【考点2：存在性问题】 【知识点：存在性问题】 (1)f(x)>g(x)对x∈I能成立⇔I与f(x)>g(x)的解集的交集不是空集⇔[f(x)－g(x)]max>0(x∈I)． (2)对∀x1∈D1，∃x2∈D2使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min，f(x)的定义域为D1，g(x)的定义域为D2. [方法技巧] 不等式存在性问题的求解策略 “恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)的最小值；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，应求f(x)的最大值．在具体问题中究竟是求最大值还是最小值，可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值．特别需要关注等号是否成立，以免细节出错．　　 1．（2024·山东枣庄·高二枣庄市第三中学校考阶段练习）已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023下·四川宜宾·高二宜宾市叙州区第一中学校校考期中）已知，若∃，使，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考阶段练习）已知函数，若，使得成立，则实数a的取值范围是（　　） A．（，+∞] B．（-∞，] C． D．（-∞，） 4．（2024·陕西榆林·高二校考阶段练习）已知函数，若，则实数a的取值范围是 . 5．（2024·全国·高三专题练习）已知函数．若存在，使得成立，求实数的最小值． 6．（2024·四川雅安·高二雅安中学校考阶段练习）已知函数. (1)若，求函数的极小值. (2)存在，使得成立，求实数的取值范围． 7．（2024上·青海西宁·高三统考期末）已知函数. (1)证明：. (2)若关于的不等式有解，求的取值范围. 8．（2023·浙江宁波·高二余姚中学校考期中）已知函数． (1)求函数的极值； (2)证明：当时，，使得． 【考点3：恒成立与存在性综合问题】 【知识点：恒成立与存在性综合问题】 （1）设函数、，对任意的，存在，使得，则 （2）设函数、，对任意的，存在，使得，则。 （3）设函数、，对任意的，存在，使得，则在上的值域M是在上的值域N的子集。即：MN。 （4）设函数、，存在，存在，使得，则 （5）设函数、，存在，存在，使得，则 1．（2019秋·吉林·高三辉南县第一中学校考阶段练习）若对任意，总存在唯一或使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）已知函数，，若成立，则n－m的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高二专题练习）已知函