甘肃省兰州市第五十八中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

兰州58中2023-2024学年第一学期期末考试试题 高二数学 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线l1：与l2：平行，则l1与l2的距离为（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的焦点到准线的距离为，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 4. 设直线的方程为，则直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，点为圆上的动点，则的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C D. 6. 画法几何学创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的焦距为，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点.设，到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，已知抛物线过点，圆. 过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，多选、错选均不得分） 9. 已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆的半径为2 C. 存在实数，使得直线与圆相切 D. 直线被圆截得的弦长最长为4 10. 已知直线，则下列说法正确是（ ） A. 直线与相交于点 B. 直线和轴围成的三角形的面积为 C. 直线关于原点O对称的直线方程为 D. 直线关于直线对称的直线方程为 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，两条曲线在第一象限的交点，为椭圆上一点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 直线是抛物线的切线 D. 有且只有两个点，满足 12. 已知，是抛物线上两点，焦点为F，抛物线上一点到焦点的距离为，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则直线恒过定点 C. 若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为 D. 若，则直线的斜率为 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知，是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，若，则______. 14. 已知经过点的直线l的一个法向量为，则直线l的方程为______． 15. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，是与的一个公共点，则的面积为__________. 16. 已知，是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线，分别交椭圆于另外的点，．若直线过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为________． 四、解答题（本题共6小题，共70分．第17题满分为10分，其余小题满分均为12分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知抛物线C：的焦点为F，过F作垂直于轴的直线与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，的面积为2. （1）求抛物线C的标准方程； （2）若直线l与抛物线C交于P，Q两点，是线段PQ的中点，求直线l的方程. 18. 在平面直角坐标系中，已知，点M满足，记的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）设圆，若直线l过圆的圆心且与曲线交于两点，且，求直线l的方程. 19. 已知双曲线的渐近线方程为，且点在双曲线上． （1）求双曲线的标准方程． （2）过点的直线l与双曲线相交于A，B两点； ①若A，B两点分别位于双曲线的两支上，求直线l的斜率的取值范围； ②若，求此时直线l的方程． 20. 已知椭圆的焦点是，，且，离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）若椭圆C与直线交于M，N两点，且，求实数的值. 21. 为抛物线上一点，过作两条关于对称的直线分别交于两点． （1）求的值及的准线方程； （2）判断直线的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 22. 在平面直角坐标系中，圆与圆内切，且与圆外切，记动圆M的圆心的轨迹记为曲线C．直线与曲线C相交于P，Q两点． （1）求曲线C方程； （2）若是一个与m无关的定值，求此时k的值及△OPQ的面积的最大值． 兰州58中2023-2024学年第一学期期末考试试题 高二数学 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B