重难点02：求数列前n项和常用10种解题策略-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册）

重难点02：求数列前n项和常用10种解题策略 考点01：等差数列公式法 ① 1．两个等差数列和，其前项和分别为，且，则等于（    ） A． B． C． D． 2．已知在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值． 考点02：等比数列公式法 ② 3．已知正项等比数列的前n项和为．若，则（    ） A． B． C． D． 4．记为等差数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)若是等比数列，且，，求的前n项和. 考点03：裂项求和： 裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项． (1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项 在利用裂项相消求和时应注意：善于识别裂项类型 （1）在把通项裂开后，是否恰好能利用相应的两项之差，相应的项抵消后是否只剩下第一项和最后一项，或者只剩下前边两项和后边两项，有时抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面剩两项,或者前面剩几项,后面也剩几项; （2）对于不能由等差数列，等比数列的前n项和公式直接求和问题，一般需要将数列的结构进行合理的拆分，将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差或系数之积与原通项相等.转化成某个新的等差或者等比数列进行求和。应用公式时，要保证公式的准确性，区分是等差还是等比数列的通项还是前n项和公式。 （3）使用裂项法求和时，要注意正负相消时消去了哪些项保留了哪些项，切不可漏写末被消去的项，末被消去的项前后对称的特点，漏掉的系数裂项过程中易出现丢项或者多项的错误，造成计算结果上的错误，实质上也是造成正负相消是此法的根源目的。 (4)常见的裂项技巧 ①等差型 （1） （2） （3） （4） ②根式型 （1） （2） （3） ③指数型 （1） （2） （3） （4） ④对数型 ⑤幂型 （1） （2） （3） 5．已知离散型随机变量X的分布列为，其中a为常数，则（    ） A． B． C． D． 6．记等差数列的前项和为，已知，且． (1)求和； (2)设，求数列前项和． 7．在已知数列中，，． （1）若数列是等比数列，求常数和数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围． 8．已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前1012项和． 考点04：错位相减法： 通项公式特点：等差等比，比如，其中代表一个等差数列的通项公式（关于的一次函数），代表一个等比数列的通项公式（关于的指数型函数），那么便可以使用错位相减法 9．已知数列的首项，设为数列的前项和，且有． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 10．已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 考点05：倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这是等差数列前n项和公式的推导方法) . 11．已知函数，则 ． 12．求的值. 考点06：分组求和法： 有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可. 分组转化法求和的常见类型 (1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组转化法求{an}的前n项和． 注：①形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 ②形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 ③形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 (2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和． 注：（1）分奇偶各自新数列求和（2）要注意处理好奇偶数列对应的项： ①可构建新数列；②可“跳项”求和 (3)正负相间求和： ①奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。 ②如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。 注：在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋