专题 相似三角形综合题（精选30题）-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年九年级数学下册同步精讲精练（苏科版）

（苏科版）九年级下册数学《第6章 相似三角形》 专题 相似三角形的综合题 1．（2023秋•榆阳区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，点P为BC边上一动点（不与点B，C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM＝∠B． （1）求证：； （2）当P为BC中点时，求CM的值； （3）当MP⊥BC时，求BP的值． 2．（2023•大连二模）如图1，△ABE中，点C是BE边上一点，∠ABC＝∠ACB，点D是AC上一点，连接DE，DB，满足∠CDE＝∠ABD， 若AB＝k•CD． （1）求证：ED＝BD； （2）探究BC与EC的数量关系，并证明； （3）如图2，延长BD交AE于点F，求的值． 3．（2023•梁山县二模）定义：从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点所连线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们就把这条线段叫做这个三角形的“华丽分割线”． 例如：如图1，AD把△ABC分成△ABD和△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的“华丽分割线”． （1）【定义感知】 如图1，在△ABC中，∠B＝40°，∠BAC＝110°，AB＝BD． 求证：AD是△ABC的“华丽分割线”． （2）【问题解决】 ①如图2，在△ABC中，∠B＝46°，AD是△ABC的“华丽分割线”，且△ABD是等腰三角形，则∠C的度数为　 　． ②如图3，在△ABC中，AB＝2，AC，AD是△ABC的“华丽分割线”，且△ABD是以AD为底边的等腰三角形，求华丽分割线AD的长． 4．（2022秋•靖宇县期末）【教材原题】如图①，在△ABC中，DE∥BC，且AD＝3，DB＝2，图中的相似三角形是 　 　，它们的相似比为 　 　； 【改编】将图①中的△ADE绕点A按逆时针方向旋转到如图②所示的位置，连接BD、CE．求证：△ABD∽△ACE； 【应用】如图③，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，点D在边BC上，连接CE，则△ACE与△ABD的面积比为 　　． 5．（2023秋•武侯区校级期末）【基础巩固】 （1）如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ADB＝∠DCB，求证：BD2＝BA•BC； 【尝试应用】 （2）如图2，四边形ABCD为平行四边形，F在AD边上，AB＝AF，点E在BA延长线上，连结EF，BF，CF，若∠EFB＝∠DFC，BE＝5，BF＝6，求AD的长； 【拓展提高】 （3）如图3，在△ABC中，D是BC上一点，连结AD，点E，F分别在AD，AC上，连结BE，CE，EF，若DE＝DC，∠BEC＝∠AEF，BE＝24，EF＝10，，求的值． 6．问题背景 如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE； 尝试应用 如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，，求的值； 拓展创新 如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2，直接写出AD的长． 7．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点． （1）求证：△ABE∽△ECM； （2）当线段BE为何值时，线段AM最短，最短是多少？ （3）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由． 8．（2023•双流区开学）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC＝2a，点D是AC边上一点，DF∥BC交AB于点F，AE⊥AB交直线DF于点E． （1）如图1，当D为AC的中点时，证明：△ADE≌△BCA； （2）如图2，若CM⊥AE于点M，当点D运动到某一位置时恰有AF＝a，则EF，DF与CM之间有何数量关系，并说明理由； （3）连接CF，当∠ACF＝45°时，请求出的值． 9．（2023秋•普兰店区期末）小明同学在学习全等三角形的时候发现：当题目中存在“一边一角”的情况时，可以通过添加辅助线“造边”或“造角”构造全等三角形解决问题． （1）【问题初探】 如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，点E在AD上，且∠BED＝∠BAC＝2∠CED，找出图中与∠ABE相等的角，并证明； （2）【拓展探究】 小明通过探究发现，图1中BE与AE之间存在固定的数量关系．证明小明发现的结论； （3）【类比迁移】 如图2，将（1）中